直交多項式

正規直交系

通常はさらに正規直交系、すなわち

${\displaystyle \langle P_{n},P_{n}\rangle =1}$

となることも要求する (これを課すことにより直交多項式列は一意に定まる^[1])。

絶対連続の場合

α がルベーグ測度 dx に対して絶対連続であるとき、すなわち適当な区間 [x₁,x₂]（x₁ = −∞ および x₂ = ∞ となってもよい）上に台を持つ非負函数 W を密度函数 (weight function) として

${\displaystyle d\alpha (x)=W(x)\,dx}$

と書けるとき、内積も

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\;dx}$

の形に与えられる^[1][2][3][4]。しかし多くの直交多項式系の例において、測度 dα(x) は α の不連続点集合が正の測度を持ち、このような密度函数 W を与えることはできない。

古典直交多項式列

もっともよく利用される直交多項式系は、実数直線上の適当な区間に台を持つ測度に対して直交するものである。例えば：

• 古典直交多項式列^{[1][2][3][4][6][7]}: ヤコビ多項式列、ラゲール多項式列、エルミート多項式列、およびそれらの特別の場合のゲーゲンバウアー多項式列、チェビシェフ多項式列、ルジャンドル多項式列。
• ウィルソン多項式（英語版、中国語版）列^[7]: ヤコビ多項式列の一般化であり、特別の場合としてマイズナー–ポラツェック多項式（英語版）列、連続ハーン多項式（英語版）列^[8]および古典直交多項式列などを含み、アスキースキームによって記述される^[6][9]。
• アスキー–ウィルソン多項式（英語版、フランス語版、中国語版）列はウィルソン多項式列に径数 ${\displaystyle q}$ を導入 (q類似) して与えられる^{[2][10][6][11][9]}。

離散直交多項式列

適当な離散測度に関して直交する多項式列は離散直交系（英語版）であるという。この場合、測度が有限台、つまり多項式の無限列ではなく有限列となることもある。ラカー多項式（英語版）列は離散直交多項式列の例であり、特別の場合としてハーン多項式列^[8]および双対ハーン多項式列^[8]を含む。したがってさらに特別の場合としてマイズナー多項式（英語版）、クラウチューク多項式列、シャルリエ多項式（英語版）などが含まれる。

篩直交多項式列

篩直交多項式列（英語版）、例えば篩超球多項式（英語版）列、篩ヤコビ多項式（英語版）、篩ポラツェック多項式（英語版）列など、は修正された漸化式を持つ。

単位円上の直交多項式列

ガウス平面上の適当な曲線に関する直交多項式系も考えられる。実数直線上を除いてもっとも重要な場合は、考える曲線が単位円の場合である。単位円上の直交多項式列（英語版）には例えばロジャース–セゲー多項式（英語版、中国語版）列がある。

三角形や円板のような平面領域上で定義された直交多項式の族も存在する。それらの中には、ヤコビ多項式列を用いて書き表すことができるものもある。例えばゼルニケ多項式列は単位円板上で直交する。 単位正方形の半分の直角二等辺三角形上での直交多項式の族として Appell多項式がある^[12].

モーメントとの関係

直交多項式列 {P_n} をモーメント m_n = ∫ xⁿ dα(x) を用いて

${\displaystyle P_{n}(x)=c_{n}\det {\begin{pmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{pmatrix}}}$

と表すことができる^[1]。ここに任意定数 c_n は P_n の正規化に関するものである。

漸化式

直交多項式列 {P_n} は以下の形の漸化式

${\displaystyle P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)}$

を満足する^[1][2][7][5]。逆の結果は ファヴァールの定理（英語版、フランス語版）を見よ^[10][13][14]。

クリストッフェル＝ダルブーの公式

^[1][2][3][7]

零点

測度 dα が区間 [a, b] に台を持つならば P_n の零点は全て [a, b] に属する^[1][5] (この性質を応用したのが直交多項式による多項式補間^[1]、ガウス求積^{[1][7][5][15]}、ガウス＝クロンロッド求積法^[16]である。)。