ロホリンの定理

ロホリンの定理は、滑らかなスピン多様体の符号は 16 で割り切れるという定理であるので、ロホリン不変量(Rokhlin invariant)の定義は次のようになる。

3-次元多様体 ${\displaystyle M}$ とその上のスピン構造 ${\displaystyle s}$ に対して、${\displaystyle \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} }$ の中のロホリン不変量 ${\displaystyle \mu (M,s)}$ は、スピン境界 ${\displaystyle (M,s)}$ を持つ滑らかなコンパクトなスピン多様体の符号として定義される。

N が 3次元スピン多様体であれば、4次元スピン多様体 M の境界である。M の符号が 8 で割れるので、ロホリンの定理を容易に応用して、mod 16 の値が N に依存し M の選択には依存しないことを示すことができる。ホモロジー 3-球面は、ただひとつスピン構造を持つので、ホモロジー 3-球面のロホリン不変量を、M をホモロジー球面を境界とするスピン 4次元多様体としたときの Z/2Z の符号 (M)/8 であると定義することができる。

例えば、ポアンカレホモロジー球面（英語版）(Poincaré homology sphere)は、交叉形式 E₈ を持つ 4次元スピン多様体の境界であるので、ロホリン不変量は 1 である。この結果は、いくつかの基本的結果を持っている。ポアンカレホモロジー球面は滑らかな ${\displaystyle S^{4}}$ への埋め込みを持たなく、メイザー多様体（英語版）(Mazur manifold)の境界となる。

さらに一般的に、N が 3次元スピン多様体であれば（例えば、任意の Z/2Z ホモロジー球面）、N を境界とする任意の 4次元スピン多様体 M は、mod 16 でうまく定義できて、N のロホリン不変量と呼ばれる。位相 3次元多様体 N 上では一般ロホリン不変量(generalized Rokhlin invariant)は、定義域が N 上のスピン構造であり、s を N 上のスピン構造としてペア ${\displaystyle (N,s)}$ のロホリン不変量として値を取る函数である。

M のロホリン不変量は、キャッソン不変量の mod 2 の半分の値に等しい。キャッソン不変量は、整数係数ホモとジー 3-球面のロホリン不変量の Z に値を持つリフトであるとみることもできる。

ケルベア・ミルナーの定理(Kervaire–Milnor theorem) (Kervaire & Milnor 1960) は、Σ が滑らかでコンパクトな 4次元多様体 M の特性球面であれば、

signature(M) = Σ.Σ mod 16

であるという定理である。特性球面は、ホモロジークラスがスティーフェル・ホイットニー類 w₂(M) を表現するような埋め込まれた 2-球である。w₂(M) が 0 であれば、Σ を任意の小さな球としてとることができ、自己交叉数が 0 であるので、このことはロホリンの定理から従う。

フリードマン・カービーの定理(Freedman–Kirby theorem) (Freedman & Kirby 1978) は Σ が滑らかでコンパクトな 4次元多様体 M の特性曲面であれば、

signature(M) = Σ.Σ + 8Arf(M,Σ) mod 16

であるという定理である。ここに Arf(M,Σ) は H₁(Σ, Z/2Z) 上のある二次系式のアルフ不変量（英語版）(Arf invariant)である。アルフ不変量は、Σ が球面であれば、ケルベア・ミルナーの定理の特別な場合となる。

フリードマン・カービーの定理の（滑らかな多様体以外の）位相多様体への一般化は、

signature(M) = Σ.Σ + 8Arf(M,Σ) + 8ks(M) mod 16,

となる。ここに ks(M) は M のカービー・ジーベンマン不変量である。M が滑らかであれば、M のカービー・ジーベンマン不変量は 0 である。

アルマン・ボレル(Armand Borel)とフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)は、次の定理を証明した。X を滑らかでコンパクトな次元が 4 で割れるようなスピン多様体であれば、Â 種数（英語版）(Â genus)は整数であり、X の次元が 4 mod 8 であれば偶数である。このことはアティヤ＝シンガーの指数定理から導き出すことができる。マイケル・アティヤ(Michael Atiyah)とイサドール・シンガー(Isadore Singer)は、Â 種数がアティヤ・シンガー作用素の指数であり、常に整数であり、次元が 4 mod 8 のときは偶数であるを示した。4-次元多様体に対しヒルツェブルフの符号定理は、符号は −8 に Â 種数をかけた値であるので、アティヤ＝シンガーの指数定理は、4次元の場合はロホリンの定理を含んでいる。

Ochanine (1980) は X がコンパクトな向き付け可能な滑らかでコンパクトな次元 4 mod 8 の多様体であれば、不当は 16 で割り切れることを証明した。

• Freedman, Michael; Kirby, Robion, "A geometric proof of Rochlin's theorem", in: Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 2, pp. 85–97, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1978. MR0520525 ISBN 0-8218-1432-X
• Kirby, Robion (1989), The topology of 4-manifolds, Lecture Notes in Mathematics, 1374, Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0089031, ISBN 0-387-51148-2, MR1001966 
• Kervaire, Michel A.; Milnor, John W., "Bernoulli numbers, homotopy groups, and a theorem of Rohlin", 1960 Proc. Internat. Congress Math. 1958, pp. 454–458, Cambridge University Press, New York. MR0121801
• Kervaire, Michel A.; Milnor, John W., On 2-spheres in 4-manifolds. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 47 (1961), 1651-1657. MR0133134
• Michelsohn, Marie-Louise; Lawson, H. Blaine (1989), Spin geometry, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0, MR10319928  (especially page 280)
• Ochanine, Serge, "Signature modulo 16, invariants de Kervaire généralisés et nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle", Mém. Soc. Math. France 1980/81, no. 5, 142 pp. MR1809832
• Rokhlin, Vladimir A., New results in the theory of four-dimensional manifolds, Doklady Acad. Nauk. SSSR (N.S.) 84 (1952) 221–224. MR0052101
• Scorpan, Alexandru (2005), The wild world of 4-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3749-8, MR2136212 .
• Szűcs, András (2003), “Two Theorems of Rokhlin”, Journal of Mathematical Sciences 113 (6): 888–892, doi:10.1023/A:1021208007146, MR1809832