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ヴァン・ラモン円

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ヴァン・ラモン円、6つの円の中心 $A b, A c, B c, B a, C a, C b$ を通る。

ユークリッド幾何学において、ヴァン・ラモン円^{[定訳なし]}（ヴァン・ラモンえん、英: van Lamoen circle）またはヴァン・ラモーエン円、ヴァン・ラムーン円は、三角形に対して定義される円の一つである^[1]。

$A, B, C$ を三角形の頂点、 $M a, M b, M c$ を $BC, CA, AB$ の中点、 $G$ を三角形の重心とする。

6つの円 $AGM c, BGM c, BGM a, CGM a, CGM b, AGM b$ の中心は同一円周上にある。この円を三角形のヴァン・ラモン円という。

ヴァン・ラモン円の名称は2000年にヴァン・ラモン円に関する問題を提起したフロアー・ヴァン・ラモン（オランダ語版）に由来する^[2]。2001年と2002年にそれぞれ、 Kin Y. Li と the Amer. Math. Monthly の編集者が、独自に証明した。

性質

ヴァン・ラモン円の中心はクラーク・キンバリングの Encyclopedia of Triangle Centers 内で、 $X (1153)$ として登録されており、三線座標は次の式で与えられる^[3]。

$f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$

ただし

$f(a,b,c)=bc(13a^{2}(b^{2}+c^{2})+10b^{2}c^{2}-10a^{4}-4b^{4}-4c^{4})$

2003年、Alexey Myakishev とPeter Y. Wooは以下の定理を発表した。

$P$ が垂心か重心であることと、 $P$ のチェバ線を $AA', BB', CC'$ として6つの円 $APB', APC', BPC', BPA', CPA', CPB'$ の中心が同一円周上にあることは同値である^[4]。

2005年、Nguyen Minh Ha はこの定理のより単純な証明を与えた^[5]。

出典

参考文献

関連項目

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