七円定理

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

スタンレー・ラビノヴィッツ（Stanley Rabinowitz）の6円が内部にある場合の証明を紹介する。

以下の補題を使用する。

・弦のチェバの定理:ある円の弦A₁A₄,A₂A₅,A₃A₆が一点Pで交わることと、A₁A₂・A₃A₄・A₅A₆ = A₂A₃・A₄A₅・A₆A₁が成り立つことは同値。

円周角の定理と三角形の相似から

${\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{A_{4}A_{5}}}={\frac {A_{1}P}{A_{5}P}},{\frac {A_{3}A_{4}}{A_{6}A_{1}}}={\frac {A_{3}P}{A_{1}P}},{\frac {A_{5}A_{6}}{A_{2}A_{3}}}={\frac {A_{5}P}{A_{3}P}}}$

が成り立つので、辺々掛けて示される。

・中心をC₁,C₂、半径をr₁,r₂とする円O₁,O₂がMで外接し、また中心C、半径Rの円OとそれぞれA₁A₂で接するとき

${\displaystyle {\frac {{A_{1}A_{2}}^{2}}{4R^{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{(R-r_{1})(R-r_{2})}}}$

が成立する。

A₁M,A₂Mと円Oの二つ目の交点をD,Eとする。△C₁A₁M,△CA₁Dは一つの角を共有し、また二等辺三角形なので、相似でC₁M//CDが従う。同様に、C₂M//CEが従い、C₁,C₂Mの共線よりD,C,Eは共線である。ところで円周角の定理と三角形の相似から、

${\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{DE}}={\frac {A_{1}M}{ME}}={\frac {A_{2}M}{MD}}}$

である。D,C,Eの共線よりDEはOの直径であり、

${\displaystyle {\frac {{A_{1}A_{2}}^{2}}{4R^{2}}}={\frac {{A_{1}A_{2}}^{2}}{{DE}^{2}}}={\frac {A_{1}M\cdot A_{2}M}{ME\cdot MD}}={\frac {A_{1}M\cdot A_{2}M}{MD\cdot ME}}={\frac {r_{1}r_{2}}{(R-r_{1})(R-r_{2})}}}$

と変形して、示される。

6円O_i , i={1,2,...,6}とO₇の接点をそれぞれA_iとする。二つ目の補題より

${\displaystyle A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}=8R^{3}{\sqrt {\prod _{i=1}^{6}{\frac {r_{i}}{R-{r_{i}}}}}}=A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5}\cdot A_{6}A_{1}}$

なので、一つ目の補題より、A₁A₄,A₂A₅,A₃A₆は一点で交わる。

6つの円が外部にある場合は分母がR+r_iとなるだけで、同様に証明できる。