三極座標

レオンハルト・オイラーは三極座標${\displaystyle (f,g,h)}$において、次の関係式が成り立つことを示した^[6]。ただし${\displaystyle a,b,c}$は三角形の三辺。$${\displaystyle {\begin{aligned}(-a^{2}+g^{2}+h^{2})^{2}f^{2}+(f^{2}-b^{2}+h^{2})^{2}g^{2}+(f^{2}+g^{2}-c^{2})^{2}h^{2}+(-a^{2}+g^{2}+h^{2})(f^{2}-b^{2}+h^{2})(f^{2}+g^{2}-c^{2})\\-4f^{2}g^{2}h^{2}=0\end{aligned}}}$$和算家は次の式を六斜術と呼んだ^[7]。$${\displaystyle {\begin{aligned}(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(g^{2}h^{2}+a^{2}f^{2})+(a^{2}-b^{2}+c^{2})(h^{2}f^{2}+b^{2}g^{2})+(a^{2}+b^{2}-c^{2})(f^{2}g^{2}+a^{2}h^{2})\\-a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}f^{4}-b^{2}g^{4}-c^{2}h^{4}=0\end{aligned}}}$$

三極座標において、${\displaystyle l+m+n=0}$が成立すれば、方程式${\displaystyle lf^{2}+mg^{2}+nh^{2}+p=0}$は直線、成立しなければ円を表す^[8]。

• 方程式が円を表す場合、その中心は重心座標系で${\displaystyle (l:m:n)}$と表される。
• 方程式が直線を表す場合、その直線は重心座標で${\displaystyle lx+my+nz=0}$と表される直線に垂直である。

${\displaystyle (f,g,h)}$について、三極座標${\displaystyle f:g:h=x:y:z}$を満たす点${\displaystyle (x,y,z)}$の個数は、${\displaystyle af,bg,ch}$によって決定される^[9]。

• ${\displaystyle af,bg,ch}$が三角形を作れる（三角不等式を満たす）とき、2つ存在する。この二点は三極連合を成すと言われる^[10]。
• ${\displaystyle af,bg,ch}$が退化した三角形を作る（どれか2つの和が残り一つの値に等しい）とき1つ存在する。
• ${\displaystyle af,bg,ch}$が三角形を作れない場合、存在しない。

たとえば${\displaystyle f:g:h={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}}$を満たす点は二つの等力点である。

以下にいくつかの三角形の中心の三極座標を挙げる^[11]。ただし${\displaystyle R}$は外接円の半径。

点	三極座標
内心	${\displaystyle {\sqrt {\frac {bc(-a+b+c)}{a+b+c}}}:{\sqrt {\frac {ca(a-b+c)}{a+b+c}}}:{\sqrt {\frac {ab(a+b-c)}{a+b+c}}}}$
重心	${\displaystyle {\frac {\sqrt {-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}}{3}}:{\frac {\sqrt {2a^{2}-b^{2}+2c^{2}}}{3}}:{\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{3}}}$
外心	${\displaystyle R:R:R}$
垂心	${\displaystyle 2R|\cos A|:2R|\cos B|:2R|\cos C|}$

一般に重心座標で${\displaystyle p;q;r\quad (p+q+r=1)}$と表される点と頂点の距離の自乗は次の式で求める事ができる^[7]。

${\displaystyle AP^{2}=c^{2}q^{2}+b^{2}r^{2}+(b^{2}+c^{2}-a^{2})qr}$