中心つき八面体数

原点とした立方体のみから n ステップ目の3次元格子の数は

${\displaystyle {\frac {(2n+1)\times (2n^{2}+2n+3)}{3}}}$

で表され、小さい順に列挙すると n = 0 から順に

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, …（オンライン整数列大辞典の数列 A1845）^[4]

となる。母関数は^[5]

${\displaystyle {\frac {(1+x)^{3}}{(1-x)^{4}}}.}$

中心つき八面体数 C(n)は漸化式

${\displaystyle C(n)=C(n-1)+4n^{2}+2}$

にも従い、2つの連続した八面体数としても表される。

三次元整数座標における八面体（内部の格子の数は中心つき八面体数となる）は、三次元マンハッタン距離内に存在する球の数でもある。そのため、ルターとメルテンスは中心つき八面体数のことを「クリスタルボールの体積（the volume of the crystal ball）」と呼んだ。

正五角錐を用いた中心つき図形数のように、この数列は違う捉え方をすることもできる。三次元の同心正五角錐の頂点数によって定義される数列（1, 6, …）は、それぞれの三角形の面に三角数の格子があり、底面の五角形の面に五角数の格子があり、その合計とも捉えられる^[6]。 つまり、三角数 T(n) と五角数 P(n) を用いて C(n) = T(n) + 4T(n − 1) と表される。

中心つき八面体数はドラノワ数の D(3, n)でもあり、左・上・左上（45°）の移動の組み合わせで左下の点から 3 × n の格子を通り、右上の点に行く経路の数でもある^[7]。