余弦分布

余弦分布（よげんぶんぷ、英: cosine distribution）は確率論や統計学における確率分布の一種。raised cosine distributionと称されることもある。有限の台 ${\displaystyle [\mu -s,\mu +s]}$ に対して定義され、その確率密度関数は ${\displaystyle \mu -s\leq x\leq \mu +s}$ で

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,s)&={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\\&={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)&{\text{ for }}\mu -s\leq x\leq \mu +s\end{aligned}}}$$

である。ただし${\displaystyle \operatorname {hvc} }$は半余矢である。一方、累積分布関数は$${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}$$

である。

一般の余弦分布ではモーメントを求めることは困難であるが、標準余弦分布 ${\displaystyle (\mu =0,s=1)}$ をはじめとした ${\displaystyle \mu =0}$ の場合には非常に簡単になる: ${\displaystyle \mu =0}$ の場合は確率分布が偶関数であるので、奇数次のモーメントは全て0になる。一方、偶数次のモーメントは余弦関数のテイラー展開を項別積分することで

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (x^{2n})&={\frac {1}{2s}}\int _{-s}^{s}\left[1+\cos \left({\frac {x\pi }{s}}\right)\right]x^{2n}\,dx={\frac {1}{2s}}\int _{-s}^{s}\left[1+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}\left({\frac {x\pi }{s}}\right)^{2k}\right]x^{2n}\,dx\\[5pt]&={\frac {s^{2n}}{2n+1}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-\pi ^{2})^{k}}{(2k)!(2k+2n+1)}}s^{2n}\\[5pt]&=\left[{\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{2n+1}}{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})\Gamma (n+{\frac {3}{2}})}{\Gamma (n+{\frac {1}{2}})}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (k+n+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (k+n+{\frac {3}{2}})\Gamma (k+{\frac {1}{2}})}}{\frac {(-\pi ^{2}/4)^{k}}{k!}}\right]s^{2n}\\[5pt]&={\frac {s^{2n}}{2n+1}}\left[1+\,_{1}F_{2}\left(n+{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}},n+{\frac {3}{2}};{\frac {-\pi ^{2}}{4}}\right)\right]\end{aligned}}}$$

と得られる。ここで、${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ はガンマ関数、${\displaystyle \,_{1}F_{2}}$ は 一般化された超幾何関数であり、式変形の途中で

${\displaystyle (2k)!=4^{k}\cdot k!{\frac {\Gamma (k+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}}$

を利用した。または、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (x^{2n+2})={\frac {s^{2n+2}}{2n+3}}-{\frac {2s^{2}(n+1)(2n+1)}{\pi ^{2}}}\operatorname {E} (x^{2n})\\\end{aligned}}}$$

を利用して逐次的に求めることもできる。これを用いれば、尖度、特に超過尖度は標準余弦分布で

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (x^{2})&=\left({\frac {1}{3}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\right)s^{2},\operatorname {E} (x^{4})=\left({\frac {1}{5}}-{\frac {4}{\pi ^{2}}}+{\frac {24}{\pi ^{4}}}\right)s^{4},\\\kappa _{4}&={\frac {E(x^{4})}{E(x^{2})^{2}}}-3={\frac {6}{5}}{\frac {90-\pi ^{4}}{\left(\pi ^{2}-6\right)^{2}}}\end{aligned}}}$$

と計算できる。