八次方程式

八次方程式は、未知数についての多項式方程式のうち、最高次の項が 8 次であるものをいう。英語では octic equation と呼ばれる。多項式の係数としては、通常は実数または複素数を考える^[要出典]。

代数学の基本定理によれば、複素数の範囲では 8 次多項式は重複度を込めて 8 個の根をもつ^[1]。

しかし、二次方程式・三次方程式・四次方程式とは異なり、一般の八次方程式には、加減乗除と冪根の有限回の組合せだけで解を表す一般公式は存在しない。これは五次以上の一般代数方程式について成り立つアーベル＝ルフィニの定理の帰結である^[2][3]。

したがって、八次方程式について「解の公式」という場合、一般には

• 特殊な形に限った代数的解法
• 楕円関数や超幾何関数などを用いる特殊関数による表示
• 数値的近似解法

のいずれかを指すことが多い^[要出典]。

八次方程式であっても、特殊な形のものはより低次の方程式に帰着できることがある。たとえば $${\displaystyle a_{8}x^{8}+a_{6}x^{6}+a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}=0}$$ のように偶数次の項だけからなる場合、y = x²とおくことで 4 次方程式に帰着できる。したがって、この型の八次方程式は四次方程式の解法を用いて処理できる。

また、特定の係数条件のもとで、八次多項式を二つの四次多項式に分解して解く方法も研究されている。たとえば、根の組に特別な対称性がある場合に、二つの四次式への分解による可解性が与えられることがある^[4]。

方程式が冪根によって解けるかどうかは、そのガロア群が可解群であるかどうかと密接に関係する。一般の 8 次既約多項式のガロア群は対称群 S₈ の部分群として現れうるが、一般の場合には可解でない群が生じるため、冪根による一般解は存在しない^[5][3]。

逆に、ガロア群が可解である特別な八次方程式では、根号を用いた表示が可能な場合がある。したがって、八次方程式の代数的可解性は、係数の形そのものよりも、その背後にあるガロア群の構造によって決まる^[5]。

一般の八次方程式を具体的に解く際には、数値計算が広く用いられる。多項式の根は同伴行列の固有値として求めることができ、この方法は一般の多項式方程式の数値解法の基礎になっている^[6][7]。

また、Jenkins–Traub法（英語版）などの多項式根探索法も古典的かつ実用的な方法として知られている。八次方程式に特有の数値解法があるというよりは、一般の高次多項式に対する数値算法の枠組みの中で扱われる^[8]。