半直積

群論において、群の半直積（はんちょくせき、英: semidirect product）とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。

定義

内部半直積

ふたつの群 $N$ , $H$ に対して $N$ の $H$ による内部半直積とは、次の性質を満たす群 $G$ のことで、 $G = N ⋊ H$ と表す^[1]。

$N$ は群 $G$ の正規部分群かつ $H$ は群 $G$ の部分群であって、 $G = NH$ を満たす
$N$ と $H$ は自明な共通部分をもつ： $N \cap H = 1$

$G$ を群とし、 $H$ をその部分群、 $N$ を正規部分群 ( $N ◁ G$ ) とすると、以下は同値である。

G = NH かつ N ∩ H = 1.
G のすべての元は積 nh (n ∈ N, h ∈ H) として一意的に書ける。
G のすべての元は積 hn (h ∈ H, n ∈ N) として一意的に書ける。
自然な埋め込み H → G を自然な射影 G → G / N と合成すると、H と商群 G / N の間の同型写像となる。
H 上恒等写像で核が N の群準同型 G → H が存在する。

外部半直積

2つの群 $N$ と $H$ （与えられた群の部分群である必要はない）と群準同型 $φ : H \to Aut(N)$ が与えられると、次のように定義される、 $φ$ に関する $N$ と $H$ の（外部）半直積と呼ばれる新しい群 $N\rtimes _{\varphi }H$ を構成することができる^[2]^[3]。

集合としては、 $N\rtimes _{\varphi }H$ はデカルト積 $N \times H$ である。
$N\rtimes _{\varphi }H$ の元の乗法は、準同型 $\varphi$ によって決定される。演算は $n 1, n 2 \in N$ と $h 1, h 2 \in H$ に対して

(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})

によって定義される

*\colon (N\times H)\times (N\times H)\to N\rtimes _{\varphi }H

である。

これは群を定め、単位元は $(1 N, 1 H)$ で、 $(n, h)$ の逆元は $(φ h -1 (n -1), h -1)$ である。対 $(n, 1 H)$ 全体は $N$ と同型な正規部分群をなし、対 $(1 N, h)$ 全体は $H$ に同型な部分群をなす。群全体はこれら2つの部分群の内部半直積になっている。

逆に、群 $G$ と正規部分群 $N$ と部分群 $H$ が与えられていて、 $G$ のすべての元 $g$ が一意的に $g = nh$ , ただし $n \in N$ , $h \in H$ , の形に書けるとしよう。 $φ : H \to Aut(N)$ を $φ (h) = φ h$ 、ただしすべての $n \in N, h \in H$ に対して

\varphi _{h}(n)=hnh^{-1},

によって与えられる準同型とする。すると $G$ は半直積 $N\rtimes _{\varphi }H$ に同型である。同型写像は積 $nh$ を対 $(n, h)$ に送る。 $G$ において次が成り立ち

(n_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}h_{1}^{-1}h_{1}h_{2}=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}))(h_{1}h_{2})

これは上の写像が確かに同型であることを示しておりまた $N\rtimes _{\varphi }H$ の乗法の規則の定義の説明もしている。

直積は半直積の特別な場合である。これを見るためには、 $φ$ を自明な準同型、すなわち $H$ のすべての元を $N$ の恒等自己同型に送るものとしよう。すると $N\rtimes _{\varphi }H$ は直積 $N\times H$ である。

ホモロジー代数的定義

群 $N$ の群 $H$ による半直積とは、分裂する短完全列

1\to N\to G\to H\to 1

を持つような群 $G$ のことである^[4]^[5]。ここで、短完全列が分裂するとは切断 $s : H \to G$ が存在することである。（つまり半直積 $G$ とは群 $N$ の群 $H$ による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。）

導入

定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群をあげることができる。 $n$ 次元アフィン変換

(A,b)\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n};\;(A,b)x=Ax+b

は $n$ 次元一般線型変換 $A\in {\mathit {GL}}(n,\mathbb {R} )$ と $n$ 次元の並進変換 $b\in \mathbb {R} ^{n}$ を合成したものであり、この変換の全体は群を成し、これを $\operatorname {Aff} (\mathbb {R} ^{n})$ で表し、 $n$ 次元アフィン変換群と呼ぶ。2つのアフィン変換 $(A_{1},b_{1})$ と $(A_{2},b_{2})$ の合成変換を考えると、

(A_{1},b_{1})(A_{2},b_{2})x=(A_{1},b_{1})(A_{2}x+b_{2})=A_{1}A_{2}x+A_{1}b_{2}+b_{1}

である。従って、アフィン変換群 $\operatorname {Aff} (\mathbb {R} ^{n})$ の群演算は、

(A_{1},b_{1})(A_{2},b_{2})=(A_{1}A_{2},A_{1}b_{2}+b_{1})

となり、 ${\mathit {GL}}(n,\mathbb {R} )$ と $\mathbb {R} ^{n}$ の単純な直積群ではないことが分かる。しかし ${\mathit {GL}}(n,\mathbb {R} )$ と $\mathbb {R} ^{n}$ は共に $\operatorname {Aff} (\mathbb {R} ^{n})$ の部分群を成し、とくに $\mathbb {R} ^{n}$ は正規部分群になる。このような関係をさらに一般化したものが半直積である^[6]。

例

直積

直積群は半直積群でもある。

二面体群

位数 $2 n$ の二面体群 $D 2 n$ は位数 $n$ の巡回的正規部分群 $C n$ の位数 $2$ の巡回群 $C 2$ による半直積である^[7]。

D_{2n}=\langle \,r,s\mid r^{n}=s^{2}=1,~s^{-1}rs=r^{-1}\,\rangle

C_{n}:=\langle r\rangle ,~C_{2}:=\langle s\rangle ,~D_{2n}=C_{n}\rtimes C_{2}

標準ボレル部分群

一般線型群の上三角行列からなる部分群 $B$ を取る。 $U$ を対角成分がすべて $1$ からなる群 $B$ の部分群とし、 $T$ を対角行列からなる群 $B$ の部分群とする。このとき次が成り立つ^[8]。

B=U\rtimes T

アフィン変換群

正則アフィン変換からなる群 $GA (V) = V ⋊ GL (V)$ も半直積の例である。

運動群

$n$ 次元ユークリッド空間の運動群 $E (n)$ は並進部分群 $T (n)$ と直交群 $O (n)$ の半直積 $E (n) = T (n) ⋊ O (n)$ である。

半直積で表せない例

位数 $8$ の四元数群 $Q 8 = ⟨ i, j, k | i 2 = j 2 = k 2 = ijk ⟩$ は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできない^[5]。

性質

位数

位数はそれぞれの積である。

\vert N\rtimes H\vert =\vert N\vert \vert H\vert

埋め込み

もとの群は半直積群に埋め込まれる。つまり、ふたつの単射準同型写像 $N \to N ⋊ H$ と $H \to N ⋊ H$ がある。さらに $N$ の単射準同型像は $N ⋊ H$ の正規部分群で、その剰余群は $H$ と同型である。

異なる作用における同型

一般に、ふたつの異なる群作用 $φ, ψ : H \to Aut(N)$ が非同型な半直積群を定めるとは限らない^[9]。もし $H$ が巡回群で作用 $φ, ψ$ が単射かつ $φ (H) = ψ (H)$ を満たすならば $N ⋊ φ H ≅ N ⋊ ψ H$ である^[10]。

定義