双対

正多面体の双対

正多面体の双対、あるいは双対関係にある正多面体とは、与えられた正多面体の各面の中心（面心）に頂点を取り、それらを結んで造られる立体（これも正多面体）のこと。双対の双対はもとの正多面体と相似になる^[1]。通常の多面体への拡張は、双対多面体を参照

• 正六面体（立方体）と正八面体。
• 正四面体と正四面体自身。
• 正十二面体と正二十面体。

グラフの双対

与えられた平面グラフに対し、その外面も含む各面に新たな頂点を対応させ、もとのグラフでは隣り合う面に対応する頂点同士を結んで得られるグラフを、与えられたグラフの双対グラフという。 形式的には 平面グラフ G = (V, E, F) （V：頂点集合、E：辺集合、F：面集合）に対して、その双対グラフは G^* = (F, E, V) で与えられるグラフである。

論理の双対

命題を論理式として表したとき、論理和 ∨ と論理積 ∧ とをすべて入れ替え、全称記号 ∀ と存在記号 ∃ とをすべて入れ替えたものをもとの論理式の双対といい、入れ替えて得られた命題をもとの命題の双対命題と呼ぶ。双対の双対はもとの命題に一致する。

元の論理式が証明可能ならばその双対の否定が証明可能であり、ある論理式の否定が証明可能ならば、その論理式の双対が証明可能になる。

ベクトル空間の双対

V を体 K 上のベクトル空間とし、V から係数体 K への線形写像（一次形式）の全体の成すベクトル空間を V^* と書いて V の双対ベクトル空間または双対空間と呼ぶ。

双対空間 V^* のさらに双対空間 V^** を二重双対空間と呼ぶ。

V の元 x と V^* の元 f に対し、${\displaystyle \langle x,f\rangle =f(x)}$ を対応させる操作（双線型形式）を考えると、x を固定するごとに V^* 上の線形形式（すなわち V^** の元）が定まる。これにより、任意のベクトル空間 V はその二重双対空間 V^** に自然に埋め込まれる（この埋め込みは基底のとり方によらない）。特に V が有限次元の場合、V と V^** は自然に同型となる（回帰的空間）。

アーベル群の双対

アーベル群 G から、0 を除く複素数全体のなす乗法群 C^× への準同型（これは（1 次の）指標 (character) と呼ばれる）全体のなす群 G^{^} を双対群（または 指標群）という。指標の間の演算は、写像の値の複素数としての積によって入れる。

アーベル群 G が有限のときには、双対群はもとの群と同型になり、双対群の双対群 G^{^^} には元の群との間に自然な同型がある。アーベル群とその指標群との双対性はポントリャーギン双対の一種である。なおポントリャーギン双対は、一般には局所コンパクト位相群で考えられる双対性であり、有限アーベル群は離散位相を入れてコンパクト群（したがって局所コンパクト）である。

さらに、有限アーベル群 G の部分群 H に対し、G^{^} の部分群 H^* を、

${\displaystyle H^{*}:=\{\chi \in {\hat {G}}\mid \chi (h)=1{\mbox{ for all }}h\in H\}}$: 全ての H の元を 1 に写す指標全体

で定義し、G^{^} の部分群 Φ に対して G の部分群 Φ^* を

${\displaystyle \Phi ^{*}:=\{g\in G\mid \phi (g)=1{\mbox{ for all }}\phi \in \Phi \}}$: Φ の任意の指標によって 1 に移されるような G の元全体

と定義すると、自然な同型

${\displaystyle H^{*}\simeq (G/H)^{\wedge },\quad \Phi ^{*}\simeq ({\hat {G}}/\Phi )^{\wedge }}$

が成立する。さらにまた H を H^* に対応させるような G の部分群全体から G^{^} の部分群全体への写像は全単射で、(H^*)^* = H が成り立つ（Φ^* に関しても同様）。

なお、群が非可換である場合や、局所コンパクトでない場合など、条件を緩めた一般の群に対する双対性の理論（淡中・クライン双対性など）は、有限アーベル群の場合に比べてその構造は複雑となる。

圏の双対

与えられた圏において、圏の対象を共有し射の向きを逆にして得られる新たな圏を、もとの圏の双対圏という。

また、ある圏の対象と射からなる図式で射の向きを逆にしたものをもとの図式の双対であるという。圏では図式を用いて種々の概念や対象を定義することが多いが、そのような概念に対し、対応する双対図式で定義される概念をもとの概念の双対概念と呼ぶ。たとえば「直積と直和」や「極限（逆極限）と余極限（直極限）」は互いに双対な概念である。

射影幾何の双対

球面三角形の双対

多重ゼータ値の双対

最適化問題の双対

理論物理学の双対

• AdS/CFT対応（反ド・ジッター (anti de Sitter)/共形場理論 (conformal field theory) 対応）、マルダセーナ双対性とも呼ばれることもある
• 双対共鳴モデル（英語版）
• エングラート＝グリーンバーガー双対関係（英語版）
• ホログラフィック双対
• クラマース＝ワニエ双対性
• ミラー対称性
• モントネン＝オリーブ双対（英語版）
• 弦双対性（英語版）
  • S-双対
  • T-双対
  • U-双対（英語版）
• 粒子と波動の双対性
• ホッジ双対

電気と磁気の双対

電磁気において、静的な電気と磁気（電場と磁場）には双対性が現れる。すなわち、片方についてのある公式が成り立つとき、他方についても類似した公式が成り立つ。電磁気の双対性の起源をたどると、最終的には特殊相対性理論にゆきつく。即ち、電場と磁場はローレンツ変換によって密接に結びついている。

• 電場 — 磁場
• 電束密度 — 磁束密度
• ファラデーの法則 — アンペールの法則
• 電荷のガウスの法則 — 磁気単極子のガウスの法則
• 電位 — 磁位
• 誘電率 — 透磁率
• 圧電効果 — 磁歪
• 強誘電体 — 強磁性体
• 静電モーター — 電磁モーター
• エレクトレット — 永久磁石
• ファラデー効果 — カー効果

電気工学の双対

電気工学においても、数々の双対性が成り立っている。双対関係は数式中の電圧と電流を入れ替えることによって得ることができる。また、双対性が成り立つ理由の一部は電気と磁気の双対性に遡ることができる。

以下は電気工学における主な双対の例である。

• 電圧 — 電流
• 並列 — 直列（回路）
• 電気抵抗（レジスタンス） — コンダクタンス
• インピーダンス — アドミタンス
• 静電容量（キャパシタンス） — インダクタンス
• リアクタンス — サセプタンス
• 短絡 — 開放
• 短絡電流 — 開放電圧
• 直列の抵抗 — 並列のコンダクタンス
• キルヒホッフの電流則 — キルヒホッフの電圧則
• テブナンの定理 — ノートンの定理

熱力学の双対