双対ハーン多項式

双対ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される:

${\displaystyle R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)={_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}-n,-x,x+\gamma +\delta +1\\\gamma +1,-N\end{matrix}};1\right),\quad x=0,1,\ldots ,N.}$

但し、${\displaystyle \lambda (x)=x(x+\gamma +\delta +1)}$ とした。

${\displaystyle \gamma ,\,\delta <-1}$ または ${\displaystyle \gamma ,\,\delta <-N}$ に対して以下の直交関係を満たす:

${\displaystyle \sum _{x=0}^{N}{\frac {(2x+\gamma +\delta +1)(\gamma +1)_{x}(-N)_{x}N!}{(-1)^{x}(x+\gamma +\delta +1)_{N+1}(\delta +1)_{x}N!}}R_{m}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)={\frac {\delta _{mn}}{{\binom {\gamma +N}{n}}{\binom {\delta +N-n}{N-n}}}}.}$

但し、${\displaystyle (a)_{n}}$ はポッホハマーの記号を表す。

以下の漸化式が成り立つ。

${\displaystyle \lambda (x)R_{n}(\lambda (x))=A_{n}R_{n+1}(\lambda (x))-(A_{n}+C_{n})R_{n}(\lambda (x))+C_{n}R_{n-1}(\lambda (x)).}$

但し、${\displaystyle R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)}$ を ${\displaystyle R_{n}(\lambda (x))}$ と略記し、

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=(n+\gamma +1)(n-N),\\C_{n}&=n(n-\delta -N-1)\end{aligned}}}$

とした。

次の差分方程式を満たす:

${\displaystyle -nR_{n}(\lambda (x))=B(x)R_{n}(\lambda (x+1))-(B(x)+D(x))R_{n}(\lambda (x))+D(x)R_{n}(\lambda (x-1)).}$

但し、

${\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {(x+\gamma +1)(x+\gamma +\delta +1)(N-x)}{(2x+\gamma +\delta +1)(2x+\gamma +\delta +2)}},\\D(x)&={\frac {x(x+\gamma +\delta +N+1)(x+\delta )}{(2x+\gamma +\delta )(2x+\gamma +\delta +1)}}.\end{aligned}}}$

ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす:

${\displaystyle \omega (x;\gamma ,\delta ,N)R_{n}(\lambda (x))=(\gamma +\delta +1)_{n}\left({\frac {\nabla }{\nabla \lambda (x)}}^{n}\omega (x;\gamma +n,\delta ,N-n)\right).}$n

以下の母関数を持つ:

• ${\displaystyle (1-t)^{N-x}{_{2}F_{1}}\left({\begin{matrix}-x,-x-\delta \\\gamma +1\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-N)_{n}}{n!}}R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^{n}}$
• ${\displaystyle (1-t)^{x}{_{2}F_{1}}\left({\begin{matrix}x-N,x+\gamma +1\\-\delta -N\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\gamma +1)_{n}(-N)_{n}}{(-\delta -N)_{n}n!}}R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^{n}}$
• ${\displaystyle \left[e^{t}{_{2}F_{2}}\left({\begin{matrix}-x,x+\gamma +\delta +1\\\gamma +1,-N\end{matrix}};-t\right)\right]_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{n!}}R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^{n}}$
• ${\displaystyle \left[(1-t)^{\epsilon }{_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}\epsilon ,-x,x+\gamma +\delta +1\\\gamma +1,-N\end{matrix}};{\frac {t}{t-1}}\right)\right]_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\epsilon )_{n}}{n!}}R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^{n}\quad (\forall \epsilon \in \mathbb {R} )}$

変数 ${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle n}$ を交換することによってハーン多項式 ${\displaystyle Q_{n}(x;\gamma ,\delta ,N)}$ が得られる:

${\displaystyle R_{x}(\lambda (n);\gamma ,\delta ,N)=Q_{n}(x;\gamma ,\delta ,N).}$