双心多角形

前述のとおり、任意の三角形は外接円と内接円を持つ^[2]。内半径、外半径をそれぞれr, R、内心と外心の距離をdとして

$${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}}$$

が成り立つ^[3]。これはオイラーの定理である。

すべての四角形が内接円と外接円を持つわけではない。R > rを満たすr, Rをそれぞれ半径とする円の中心の距離をdとする。この2円に内接、外接する四角形が存在することと、次の式が成り立つことは同値である^[3][4]。

$${\displaystyle {\frac {1}{(R-d)^{2}}}+{\frac {1}{(R+d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$$

この定理はフースの定理として知られている^[5]。

r, R, dを前項と同様に定義する。一般の双心n角形のr, R, dの関係式は非常に複雑である^[6][7][8]。

以下に、いくつかの双心n角形のr, R, dに関する関係式を挙げた。

$${\displaystyle n=5:\quad r(R-d)=(R+d){\sqrt {(R-r+d)(R-r-d)}}+(R+d){\sqrt {2R(R-r-d)}}}$$ $${\displaystyle n=6:\quad 3(R^{2}-d^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+d^{2})(R^{2}-d^{2})^{2}+16r^{4}d^{2}R^{2}}$$ $${\displaystyle n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4}}$$

ただし、p = R + d/r, q = R − d/rである。

全ての正多角形は双心である^[3]。さらに、その外接円と内接円は同心円となる。また、内接円の半径は辺心距離と等しい。

辺長がaである正n角形について、次の式が成立する。

$${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}}$$

定規とコンパスによる作図可能な正多角形については次のような関係式がある。

n	Rとa	rとa	rとR
3	${\displaystyle R{\sqrt {3}}=a\!\,}$	${\displaystyle 2r={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}\!\,}$	${\displaystyle 2r=R\!\,}$
4	${\displaystyle R{\sqrt {2}}=a\!\,}$	${\displaystyle r={\frac {a}{2}}\!\,}$	${\displaystyle 2r=R{\sqrt {2}}\!\,}$
5	${\displaystyle R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=a\!\,}$	${\displaystyle r\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\!\,}$	${\displaystyle r({\sqrt {5}}-1)=R\!\,}$
6	${\displaystyle R=a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=R\!\,}$
8	${\displaystyle R{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=a\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\,}$	${\displaystyle r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\!\,}$	${\displaystyle 2r\left({\sqrt {2}}-1\right)=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\!\,}$
10	${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)R=2a\!\,}$	${\displaystyle 2r{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}=5a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}={\frac {R}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\!\,}$

外半径、内半径、1辺の長さの比の近似値は以下のようになる。

n		R/a		r/a		R/r
${\displaystyle 3\,}$		${\displaystyle 0.577\,}$		${\displaystyle 0.289}$		${\displaystyle 2.000\,}$
${\displaystyle 4}$		${\displaystyle 0.707\,}$		${\displaystyle 0.500}$		${\displaystyle 1.414\,}$
${\displaystyle 5}$		${\displaystyle 0.851\,}$		${\displaystyle 0.688}$		${\displaystyle 1.236\,}$
${\displaystyle 6}$		${\displaystyle 1.000\,}$		${\displaystyle 0.866}$		${\displaystyle 1.155\,}$
${\displaystyle 8}$		${\displaystyle 1.307\,}$		${\displaystyle 1.207}$		${\displaystyle 1.082\,}$
${\displaystyle 10}$		${\displaystyle 1.618\,}$		${\displaystyle 1.539}$		${\displaystyle 1.051\,}$

2つの円に外接、内接するようなn角形が1つでも存在すれば、同様にその2円に外接、内接するn角形が無数に存在する。これはポンスレの閉形定理と呼ばれる。より一般には円を円錐曲線へ置き換えても成り立つ^[9]。

さらに、そのような多角形のどの対角線もある円錐曲線へ接する^[10]。