周期関数の一覧 From Wikipedia, the free encyclopedia この記事は、周期関数の一覧である。なお、定数関数f (x) = cは、任意の周期について周期的であるが、最小の周期である基本周期を持たないため、掲載していない。また、複数の定義があるいくつかの関数については、一つの定義のみを掲載している。 列挙されている三角関数は、特に断りのない限り周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } である。また、Un は n番目の タンジェント数またはセカント数[注 1]を、Bn は n番目の ベルヌーイ数を表し、ヤコビの楕円関数において q = e − π K ( 1 − m ) K ( m ) {\displaystyle q=e^{-\pi {\frac {K(1-m)}{K(m)}}}} とする。 名前表記式 [注 2]フーリエ級数 正弦 sin ( x ) {\displaystyle \sin(x)} ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} sin ( x ) {\displaystyle \sin(x)} cas関数 cas ( x ) {\displaystyle \operatorname {cas} (x)} sin ( x ) + cos ( x ) {\displaystyle \sin(x)+\cos(x)} sin ( x ) + cos ( x ) {\displaystyle \sin(x)+\cos(x)} 余弦 cos ( x ) {\displaystyle \cos(x)} ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}} cos ( x ) {\displaystyle \cos(x)} cis関数 e i x , cis ( x ) {\displaystyle e^{ix},\operatorname {cis} (x)} cos(x) + i sin(x) cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} 正接 tan ( x ) {\displaystyle \tan(x)} sin x cos x = ∑ n = 0 ∞ U 2 n + 1 x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle {\frac {\sin x}{\cos x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 sin ( 2 n x ) {\displaystyle 2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\sin(2nx)} [1] 余接 cot ( x ) {\displaystyle \cot(x)} cos x sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! {\displaystyle {\frac {\cos x}{\sin x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}} i + 2 i ∑ n = 1 ∞ ( cos 2 n x − i sin 2 n x ) {\displaystyle i+2i\sum _{n=1}^{\infty }(\cos 2nx-i\sin 2nx)} [要出典] 正割 sec ( x ) {\displaystyle \sec(x)} 1 cos x = ∑ n = 0 ∞ U 2 n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle {\frac {1}{\cos x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}} - 余割 csc ( x ) {\displaystyle \csc(x)} 1 sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! {\displaystyle {\frac {1}{\sin x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}} - 外正割（剰正割） exsec ( x ) {\displaystyle \operatorname {exsec} (x)} sec ( x ) − 1 {\displaystyle \sec(x)-1} - 外余割（剰余割） excsc ( x ) {\displaystyle \operatorname {excsc} (x)} csc ( x ) − 1 {\displaystyle \csc(x)-1} - 正矢 versin ( x ) {\displaystyle \operatorname {versin} (x)} 1 − cos ( x ) {\displaystyle 1-\cos(x)} 1 − cos ( x ) {\displaystyle 1-\cos(x)} 残正矢 vercosin ( x ) {\displaystyle \operatorname {vercosin} (x)} 1 + cos ( x ) {\displaystyle 1+\cos(x)} 1 + cos ( x ) {\displaystyle 1+\cos(x)} 余矢 coversin ( x ) {\displaystyle \operatorname {coversin} (x)} 1 − sin ( x ) {\displaystyle 1-\sin(x)} 1 − sin ( x ) {\displaystyle 1-\sin(x)} 残余矢 covercosin ( x ) {\displaystyle \operatorname {covercosin} (x)} 1 + sin ( x ) {\displaystyle 1+\sin(x)} 1 + sin ( x ) {\displaystyle 1+\sin(x)} 半正矢 haversin ( x ) {\displaystyle \operatorname {haversin} (x)} 1 − cos ( x ) 2 {\displaystyle {\frac {1-\cos(x)}{2}}} 1 2 − 1 2 cos ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos(x)} 半残正矢 havercosin ( x ) {\displaystyle \operatorname {havercosin} (x)} 1 + cos ( x ) 2 {\displaystyle {\frac {1+\cos(x)}{2}}} 1 2 + 1 2 cos ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos(x)} 半余矢 hacoversin ( x ) {\displaystyle \operatorname {hacoversin} (x)} 1 − sin ( x ) 2 {\displaystyle {\frac {1-\sin(x)}{2}}} 1 2 − 1 2 sin ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\sin(x)} 半残余矢 hacovercosin ( x ) {\displaystyle \operatorname {hacovercosin} (x)} 1 + sin ( x ) 2 {\displaystyle {\frac {1+\sin(x)}{2}}} 1 2 + 1 2 sin ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sin(x)} ヤコビの楕円関数 sn sn ( x , m ) {\displaystyle \operatorname {sn} (x,m)} sin am ( x , m ) {\displaystyle \sin \operatorname {am} (x,m)} 2 π K ( m ) m ∑ n = 0 ∞ q n + 1 / 2 1 − q 2 n + 1 sin ( 2 n + 1 ) π x 2 K ( m ) {\displaystyle {\frac {2\pi }{K(m){\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}~\sin {\frac {(2n+1)\pi x}{2K(m)}}} ヤコビの楕円関数 cn cn ( x , m ) {\displaystyle \operatorname {cn} (x,m)} cos am ( x , m ) {\displaystyle \cos \operatorname {am} (x,m)} 2 π K ( m ) m ∑ n = 0 ∞ q n + 1 / 2 1 + q 2 n + 1 cos ( 2 n + 1 ) π x 2 K ( m ) {\displaystyle {\frac {2\pi }{K(m){\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}~\cos {\frac {(2n+1)\pi x}{2K(m)}}} ヤコビの楕円関数 dn dn ( x , m ) {\displaystyle \operatorname {dn} (x,m)} 1 − m sn 2 ( x , m ) {\displaystyle {\sqrt {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x,m)}}} π 2 K ( m ) + 2 π K ( m ) ∑ n = 1 ∞ q n 1 + q 2 n cos n π x K ( m ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}~\cos {\frac {n\pi x}{K(m)}}} ヤコビの楕円関数 zn zn ( x , m ) {\displaystyle \operatorname {zn} (x,m)} ∫ 0 x [ dn ( t , m ) 2 − E ( m ) K ( m ) ] d t {\displaystyle \int _{0}^{x}\left[\operatorname {dn} (t,m)^{2}-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right]dt} 2 π K ( m ) ∑ n = 1 ∞ q n 1 − q 2 n sin n π x K ( m ) {\displaystyle {\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}~\sin {\frac {n\pi x}{K(m)}}} ヴァイエルシュトラスの楕円関数 ℘ ( x , Λ ) {\displaystyle \wp (x,\Lambda )} 1 x 2 + ∑ λ ∈ Λ − { 0 } [ 1 ( x − λ ) 2 − 1 λ 2 ] {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda -\{0\}}\left[{\frac {1}{(x-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right]} {\displaystyle } クラウゼン関数 Cl 2 ( x ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(x)} − ∫ 0 x ln | 2 sin t 2 | d t {\displaystyle -\int _{0}^{x}\ln \left|2\sin {\frac {t}{2}}\right|dt} ∑ k = 1 ∞ sin k x k 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin kx}{k^{2}}}} 滑らかでない関数[注 3] Summarize Timeline Top Qs Fact Check 以下の関数は周期 p {\displaystyle p} を持ち、引数として x {\displaystyle x} を取る。また、 ⌊ n ⌋ {\displaystyle \lfloor n\rfloor } は n {\displaystyle n} の床関数であり、 sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} } は符号関数である。Kは楕円積分K(m)を表すものとする。 名前式極限フーリエ級数備考 三角波 4 p ( x − p 2 ⌊ 2 x p + 1 2 ⌋ ) ( − 1 ) ⌊ 2 x p + 1 2 ⌋ {\displaystyle {\frac {4}{p}}\left(x-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2x}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2x}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }} lim m → 1 − zs ( 4 K x p − K , m ) {\displaystyle \lim _{m\rightarrow 1^{-}}\operatorname {zs} \left({\frac {4Kx}{p}}-K,m\right)} 8 π 2 ∑ n o d d ∞ ( − 1 ) ( n − 1 ) / 2 n 2 sin ( 2 π n x p ) {\displaystyle {\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{n\,\mathrm {odd} }^{\infty }{\frac {(-1)^{(n-1)/2}}{n^{2}}}\sin \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)} 非連続第一次導関数 ノコギリ波 2 ( x p − ⌊ 1 2 + x p ⌋ ) {\displaystyle 2\left({\frac {x}{p}}-\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {x}{p}}\right\rfloor \right)} − lim m → 1 − zn ( 2 K x p + K , m ) {\displaystyle -\lim _{m\rightarrow 1^{-}}\operatorname {zn} \left({\frac {2Kx}{p}}+K,m\right)} 2 π ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n sin ( 2 π n x p ) {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sin \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)} 非連続 方形波 sgn ( sin 2 π x p ) {\displaystyle \operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {2\pi x}{p}}\right)} lim m → 1 − sn ( 4 K x p , m ) {\displaystyle \lim _{m\rightarrow 1^{-}}\operatorname {sn} \left({\frac {4Kx}{p}},m\right)} 4 π ∑ n o d d ∞ 1 n sin ( 2 π n x p ) {\displaystyle {\frac {4}{\pi }}\sum _{n\,\mathrm {odd} }^{\infty }{\frac {1}{n}}\sin \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)} 非連続 パルス波 H ( cos 2 π x p − cos π t p ) {\displaystyle H\left(\cos {\frac {2\pi x}{p}}-\cos {\frac {\pi t}{p}}\right)} H {\displaystyle H} は ヘヴィサイドの階段関数であり、t は パルス波が1である時間を表す。 t p + ∑ n = 1 ∞ 2 n π sin ( π n t p ) cos ( 2 π n x p ) {\displaystyle {\frac {t}{p}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n\pi }}\sin \left({\frac {\pi nt}{p}}\right)\cos \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)} 非連続 振幅A、周期p/2の正弦波の大きさ A | sin π x p | {\displaystyle A\left|\sin {\frac {\pi x}{p}}\right|} 4 A 2 π + ∑ n = 1 ∞ 4 A π 1 4 n 2 − 1 cos 2 π n x p {\displaystyle {\frac {4A}{2\pi }}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4A}{\pi }}{\frac {1}{4n^{2}-1}}\cos {\frac {2\pi nx}{p}}} [2]:p. 193非連続 サイクロイド p − p cos ( f ( − 1 ) ( 2 π x p ) ) 2 π {\displaystyle {\frac {p-p\cos \left(f^{(-1)}\left({\frac {2\pi x}{p}}\right)\right)}{2\pi }}} f ( x ) = x − sin ( x ) {\displaystyle f(x)=x-\sin(x)} であり、 f ( − 1 ) ( x ) {\displaystyle f^{(-1)}(x)} は その実数上の逆関数である。 p π ( 3 4 + ∑ n = 1 ∞ J n ( n ) − J n − 1 ( n ) n cos 2 π n x p ) {\displaystyle {\frac {p}{\pi }}{\biggl (}{\frac {3}{4}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {J} _{n}(n)-\operatorname {J} _{n-1}(n)}{n}}\cos {\frac {2\pi nx}{p}}{\biggr )}} J n ( x ) {\displaystyle \operatorname {J} _{n}(x)} は 第一種ベッセル関数 である。 非連続第一次導関数 くし型関数 ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n p ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-np)} lim m → 1 − 2 K ( m ) p π dn ( 2 K x p , m ) {\displaystyle \lim _{m\rightarrow 1^{-}}{\frac {2K(m)}{p\pi }}\operatorname {dn} \left({\frac {2Kx}{p}},m\right)} 1 p ∑ n = − ∞ ∞ e 2 n π i x p {\displaystyle {\frac {1}{p}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2n\pi ix}{p}}} 非連続 ディリクレ関数 1 Q ( x ) = { 1 x ∈ Q 0 x ∉ Q {\displaystyle {\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}}} lim m , n → ∞ cos 2 m ( n ! x π ) {\displaystyle \lim _{m,n\rightarrow \infty }\cos ^{2m}(n!x\pi )} - 非連続 ベクトル値関数 エピトロコイド エピサイクロイド (エピトロコイドの特別な場合) パスカルの蝸牛形 (エピトロコイドの特別な場合) ハイポトロコイド ハイポサイクロイド (ハイポトロコイドの特別な場合) スピログラフ (ハイポトロコイドの特別な場合) 二重周期関数 ヤコビの楕円関数 ヴァイエルシュトラスの楕円関数 脚注 注釈 ↑ nが奇数のときはタンジェント数、偶数のときはセカント数とする。セカント数は奇数項が0であり、タンジェント数は偶数項が0であるため、その和に一致し、組み合わせ数学において、交代順列の込み合わせの数に等しい。タンジェント数、および交代順列（英語版）を参照。 ↑ 式は、テイラー級数として与えられるものか、他の項目から派生したものである。 ↑ 滑らかな関数（smooth function）ではない関数を指す。 出典 ↑ Orloff, Jeremy. “ES.1803 Fourier Expansion of tan(x)”. Massachusetts Institute of Technology. 2019年3月31日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年3月31日閲覧。 ↑ Papula, Lothar (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vieweg+Teubner Verlag. ISBN 978-3834807571 Related Articles
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[要出典]
![{\displaystyle \int _{0}^{x}\left[\operatorname {dn} (t,m)^{2}-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right]dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff124791c83004c265bbcd4ad18def2a14567f8)
![{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda -\{0\}}\left[{\frac {1}{(x-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f90c6465f2e595b42ee5c9d68856da944b7d37e)
