商 (数学)

商は、水平線で分けられた2数あるいは2変数として一般に表される。「被除数」と「除数」はそれぞれの一部分を、「商」の語は全体を指す。

$${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\quad {\begin{aligned}&\leftarrow {\text{dividend or numerator}}\\&\leftarrow {\text{divisor or denominator}}\end{aligned}}{\Biggr \}}\leftarrow {\text{quotient}}}$$

商はまた、剰余が負にならない最大の自然数としても定義される。例えば、除数3は被除数20から剰余が負にならずに最大6回まで引くことができる。

20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 ≥ 0

一方で

20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 < 0

となる。

この場合、商は2数の整数部となる^[3]。

有理数は（分母が0でない）ふたつの整数の商として定義できる。

より詳細な定義は次のとおりである^[4]。

実数 r が有理数であることは分母が0でない2整数の商として表されることと同値である。有理数でない実数は無理数である。

より正式には次のようになる。

実数 r が与えられたとき、r が有理数であるとは r = a/b かつ b ≠ 0 を満たす整数 a および b が存在することと同値である。

無理数（2整数の商でない数）の存在は幾何学で、正方形の辺に対する対角線の長さの比として最初に発見された^[5]。