埋め込み (数学)

位相空間論において、位相空間 X から Y への連続写像 ${\displaystyle f:X\to Y}$ が埋め込み（topological embedding）であるとは、f が単射であり、Y の相対位相を入れた像 ${\displaystyle f(X)}$ への写像 ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ が同相写像であることをいう。^[2][5]

したがって埋め込みは、X の位相を失わずに Y の部分空間として実現する方法である。単なる連続単射は必ずしも埋め込みではない。例えば、区間 ${\displaystyle (0,2\pi )}$ から単位円 ${\displaystyle S^{1}}$ への写像 ${\displaystyle t\mapsto (\cos t,\sin t)}$ は連続かつ単射であるが、像に入る相対位相が元の空間の位相と一致しないため、像への同相写像にはならず、埋め込みではない。これに対し、実数直線から平面への写像 ${\displaystyle x\mapsto (x,0)}$ は位相埋め込みである。^[5]

連続単射が埋め込みとなるための十分条件として、コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続単射は埋め込みであることが知られている。これは位相幾何学における基本事実であり、コンパクト多様体の埋め込みの扱いでも頻繁に用いられる。^[5]

微分トポロジーにおいて、滑らかな多様体 M, N の間の滑らかな写像 ${\displaystyle f:M\to N}$ がはめ込み（immersion）であるとは、その微分 ${\displaystyle df_{p}}$ が各点 ${\displaystyle p\in M}$ で単射であることをいう。これに対し滑らかな埋め込みとは、f がはめ込みであると同時に、位相空間としても埋め込みであるような写像である。^[3][6]

すなわち、滑らかな埋め込みは像への微分同相を与え、その像は部分多様体を成す。はめ込みは局所的には埋め込みであるが、大域的には自己交叉などにより埋め込みでない場合がある。古典的な例として、円周から平面への図形8字型の写像は滑らかなはめ込みではあるが、自己交叉を持つため埋め込みではない。^[3]

コンパクトな多様体 M については、滑らかな単射はめ込みは滑らかな埋め込みである。これは微分位相幾何学でしばしば使われる判定法である。^[3]

リーマン幾何学では、リーマン多様体 ${\displaystyle (M,g)}$ と ${\displaystyle (N,h)}$ の間の滑らかな埋め込み ${\displaystyle f:M\to N}$ であって、 ${\displaystyle g=f^{*}h}$ を満たすものを等長埋め込みという。これは、N 上の計量 h を f により引き戻したものが、M の計量 g に一致することを意味する。各点 ${\displaystyle x\in M}$ の接ベクトル ${\displaystyle v,w\in T_{x}M}$ に対して ${\displaystyle g(v,w)=h(df_{x}(v),df_{x}(w))}$ が成り立つ。^[7][8]

等長埋め込みは、多様体上の内在的な距離・角度・長さを外部空間の中で忠実に表現する概念である。曲面論における平面や球面のユークリッド空間への実現はその初歩的な例である。より一般には、ナッシュ埋め込み定理により、任意の滑らかなリーマン多様体はある高次元のユークリッド空間へ等長埋め込みできる。^[9]

一般に、ある代数的圏における埋め込みとは、対象を部分対象として実現する単射な準同型を指す。群論では群準同型であって単射なもの、環論では環準同型であって単射なものが典型例である。この意味で埋め込みは、対象の演算を保ちながらより大きな代数系の内部にその複製を見いだす方法といえる。^[10]

順序理論において、半順序集合 ${\displaystyle (X,\leq )}$ から ${\displaystyle (Y,\leq )}$ への写像 F が順序埋め込みであるとは、 ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2})}$ が任意の ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ について成り立つことをいう。これは順序を保存するだけでなく、順序関係を反映することも要求する定義であり、単なる単調写像より強い。^[13]

領域理論では、近似可能性や有向完備性との整合性が重視されるため、順序埋め込みに加えて有向集合に関する条件を課すことがある。これにより、計算可能性や意味論で用いられる順序構造の適切な部分対象が定式化される。^[14]

距離空間 ${\displaystyle (X,d_{X})}$, ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ の間の写像 ${\displaystyle \varphi :X\to Y}$ が、ある定数 ${\displaystyle L>0}$, ${\displaystyle C\geq 1}$ に対して ${\displaystyle L\,d_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\varphi (x),\varphi (y))\leq CL\,d_{X}(x,y)}$ を満たすとき、φ は歪み C の埋め込みであるという。特に ${\displaystyle C=1}$ のとき、これは距離を定数倍を除いて完全に保つ埋め込みであり、等距写像に近い概念となる。^[15][16]

この種の埋め込みは、離散幾何、近似アルゴリズム、データ解析、関数解析などで重要である。複雑な距離空間を扱いやすい空間に埋め込むことで、距離の比較や組合せ的構造の解析が可能になる。^[16]

圏論では、「埋め込み」に単一の普遍的定義があるわけではないが、一般にはある対象が別の対象の部分対象として現れることを表す射を指す。多くの場合、埋め込みはモノ射であることが期待されるが、すべてのモノ射を埋め込みと呼ぶかどうかは文脈に依存する。具体的な圏では、集合の圏における単射、位相空間の圏における部分空間への包含、群の圏における単射準同型などが埋め込みの典型例である。^[4]

さらに、ある対象 A を関手圏の中に埋め込む米田埋め込みは、圏論における最も基本的な埋め込みの一つであり、対象をその上の表現可能関手によって完全に記述できることを示す。^[19]

• ホイットニー埋め込み定理：任意の m 次元の滑らかな多様体は ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$ に滑らかに埋め込める。これは有限次元多様体がユークリッド空間内で具体的に実現できることを示す基礎定理である。^[20]
• ナッシュ埋め込み定理：任意の滑らかなリーマン多様体は、ある高次元ユークリッド空間へ等長埋め込みできる。これは内在的幾何と外在的幾何を結び付ける結果である。^[9]

これらの定理により、埋め込みは単なる部分集合表示の技法ではなく、多様体や幾何構造をユークリッド空間の中で可視化・解析するための基礎理論であることが分かる。

• 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ から整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ への包含は、加法モノイドの埋め込みである。
• 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ から有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$、さらに実数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$、複素数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ への標準的包含は、環や体の埋め込みの典型例である。^[10]
• 実数直線 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ の平面 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ への写像 ${\displaystyle x\mapsto (x,0)}$ は位相埋め込みであり、かつ滑らかな埋め込みでもある。^[5][3]
• 円周 ${\displaystyle S^{1}}$ の平面への通常の包含は滑らかな埋め込みであるが、図形8字型の曲線は自己交叉を持つため、滑らかなはめ込みであっても埋め込みではない。^[3]
• 球面 ${\displaystyle S^{n}}$ の ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ への通常の包含は等長埋め込みの基本例である。^[7]

埋め込みは、しばしば同型、単射、沈め込み、包含写像などと比較される。

単射

元を区別する写像であるが、像の上で元の構造が回復できるとは限らない。

同型

構造を完全に保つ可逆写像であり、埋め込みはその像への同型とみなせる。

沈め込み

微分が各点で単射である滑らかな写像で、局所的には埋め込みだが大域的には自己交叉を持ちうる。

包含写像

部分対象から全体への自然な写像であり、多くの場合もっとも典型的な埋め込みである。

• 等長埋め込み
• ホイットニー埋め込み定理
• ナッシュ埋め込み定理
• 沈め込み
• 部分多様体
• 部分空間
• モノ射
• 初等埋め込み
• ジョンソン・リンデンシュトラウスの補題