実射影直線

実射影直線上の各点は、ふつう適当な同値関係に関する同値類として定義される。出発点は二次元の実線型空間 V で、V ∖ 0 上の二項関係 v ~ w を、適当な非零実数 t が存在して v = tw と書けることと定める。これが同値関係を定めることは線型空間の定義からほほ直ちにわかる。同値類は各ベクトルの張る直線から零ベクトルを除いたものになる。そうして、実射影直線 P(V) とはこの同値類全体の成す集合と定める。この集合において各同値類は単なる一点として考える（実射影直線上の「点」とはこの各同値類のことと定めると言ってもよい）。

V の基底を一つとれば、各ベクトルをその座標ベクトル（英語版）と同一視することにより、V は直積 R × R = R² と同一視できて、上記の同値関係は (x, y) ~ (w, z) となることを非零実数 t が存在して (x, y) = (tw, tz) とできることと言い換えられる。この場合、射影直線 P(R²) のことは P¹(R) あるいは RP¹ と書くのが望ましい。対 (x, y) の属する同値類は、伝統的に [x : y] と書かれ、このコロン ":" は y ≠ 0 なるときの比 x : y が同じ同値類に属する全ての対において同じ値であることを想起させる。点 P が同値類 [x : y] であるとき、代表元 (x, y) を点 P の射影座標（英語版）対とも呼ぶ^[1]

P(V) が同値関係を通じて定義されたのに伴い、V から P(V) への標準射影が位相（商位相）を定め、射影直線上に可微分構造（英語版）が定まる。しかし、同値類が有限でないという事実は、この可微分構造を定義することを難しくする。これらのことは V をユークリッドベクトル空間と看做せば解決できる。R² の場合に、単位ベクトル全体の成す円周（単位円）は x² + y² = 1 を満足する座標を持つベクトル全体の成す集合である。単位円は各同値類とちょうど対極にある二点で交わるから、v ~ w は v = w または v = −w なるときと定めて得られる単位円上の同値関係で単位円を割った商空間として射影直線を理解することができる。

射影直線は位相多様体である。このことは上記の同値関係による構成を通じて確認することができるが、以下の二つのチャート（地図）がアトラス（地図帳）を与えることを見るのが簡明である:

• φ₁: [x : y] ↦ x⁄y (y ≠ 0)
• φ₂: [x : y] ↦ y⁄x (x ≠ 0)

上記の同値関係によれば、同じ同値類に入る任意の代表元がこれらチャートのもとで同じ実数に写されるから、これは定義可能である。

x か y の何れか一方は零となり得るが、ともに零となることはないので、この二つのチャートは射影直線を被覆しなければならない。この二つのチャートの間の座標変換写像は逆数函数で与えられる。逆数函数は（0 を除いて）可微分函数であり、さらに解析函数でさえあるから、実射影直線は可微分多様体であり、さらに解析的多様体（英語版）でさえある。

チャート φ₁ の逆函数は

${\displaystyle x\mapsto [x:1]}$

なる写像であり、これは実数直線の射影直線の中への埋め込みを定義するが、その埋め込み像の射影直線に対する補集合はただ一点 [1 : 0] のみである。この埋め込みと射影直線との組を射影的補完数直線（英語版）と呼ぶ。実数直線をこの埋め込みによる像と同一視することで、射影直線を実数直線と一点 [1 : 0]（これは射影的補完数直線上の無限遠点 ∞ と呼ばれる）との合併と看做すことができることが理解される。この埋め込みで点 [x: y] を y ≠ 0 なるとき実数 x/y と、さもなくば ∞ と同一視することができる。

もう一方のチャート φ₂ についても同じことができて、今度は無限遠点は [0: 1] になる。このことから、無限遠点の概念は実射影直線において内在的なものではなく、実数直線の射影直線への埋め込みの取り方に依存して決まるものであることであることが理解される。

実射影直線は実射影平面内の、あるいは複素射影直線内の、完備な射影領域（英語版）である。したがって、その構造はこれら外部構造 (superstructure) から遺伝する。そのような構造の中で第一は、射影領域内の点の間に成り立つ射影調和共軛である。

実数直線が全順序かつ完備（英語版）であったのに対し、実射影曲線は巡回順序（英語版）を持つことは重要な数学的構造である^[2]。巡回順序は適切な演繹に必要となる性質である分離関係（英語版）によって対処される。