対応定理

核 N をもつ全射群準同型写像 φ: G → H を考える。このとき対応

${\displaystyle U\mapsto \varphi (U)}$

は N を含む G の部分群と H の部分群との間の全単射である。対応

${\displaystyle V\mapsto \varphi ^{-1}(V)}$

はその逆写像である^[1]。このとき正規部分群は正規部分群に（いずれの方向にも）対応する。

この主張を G/N ≅ H の場合に特殊化することで G/N の（正規）部分群は N ≤ U ≤ G を満たす（正規）部分群 U を用いて U/N と表されるものにちょうど一致することがわかる^[2]。この対応は単調である——つまり部分群 N ≤ U₁, U₂ ≤ G に対して U₁ ≤ U₂ となるのは U₁/N ≤ U₂/N となるとき、かつ、そのときに限る。

もし G/N が単純群ならば正規部分群 N は正規部分群のなかで極大である^[3]。

R を単位元を含む環とし、I ⊆ R を（両側）イデアルとする。このとき対応

${\displaystyle J\mapsto J/I}$

は I を含む R の左イデアルと R/I の左イデアルとの間の全単射である。この対応は単調である——つまり左イデアル I ⊆ J₁, J₂ ⊆ R に対して J₁ ⊆ J₂ となるのは J₁/I ⊆ J₂/I となるとき、かつ、そのときに限る^[4]。

M を左 R 加群、 N ⊆ M をその部分加群とする。このとき対応

${\displaystyle V\mapsto V/N}$

は N を含む M の部分加群と M/N の部分加群との間の全単射である。この対応は単調である——つまり部分加群 N ⊆ V₁, V₂ ⊆ M に対して V₁ ⊆ V₂ となるのは V₁/N ⊆ V₂/N となるとき、かつ、そのときに限る^[5]。