岩澤理論

証明と岩澤代数

次の仮定のもとで証明の概略を見る^[12]。

(*) 素数 p の上にある F の素イデアルは唯一つで、さらにその素イデアルは F_∞/F で完全分岐する

証明は、まずイデアル類群の極限をとることからはじまる。2つの正整数 m ≦ n があったとき、代数体の有限次拡大 F_n/F_m のノルム写像からイデアル類群の準同型 A_m ← A_n ができる^[13]。これによる逆極限 lim← A_n を X と書き、F_∞/F の岩澤加群という^[14]。岩澤の独自性は、「無限大に飛ばす」という新しい着想にあった。

岩澤加群 X がわかれば A_n もわかる。実際、Γ=Gal(F_∞/F) の元 γ₀ を Z_p の乗法単位元1に対応する元（位相的生成元といっても同じこと）とすると A_n = X/(γpⁿ
0  − 1)X が成り立つことがわかる^{[15][注釈 3]}。

岩澤加群 X の構造は、これを完備群環上の加群とみることによって調べられる。A_n は有限 p 群なので自然に Z_p の元の乗算が定義でき、またガロア群 Γ/Γ_n が作用しているので、その極限の X には完備群環 Λ ≔ Z_p⟦Γ⟧ = lim← Z_p[Γ/Γ_n] の作用が定義できる^[16]。この環 Λ は、実は Z_p 係数の形式的べき級数環 Z_p⟦T⟧ と T + 1 ↔ γ₀ によって同型であることが示される（位相的生成元の取り方に依存するので、標準的ではない）^[17]。Λ や Z_p⟦T⟧ は岩澤代数（英語版）と呼ばれている^[18]。岩澤代数は岩澤理論において中心的な役割を演ずる。例えば、岩澤主予想と呼ばれる予想は Λ のある2つのイデアルが等しいという予想である。

岩澤加群 X は岩澤代数 Λ ≃ Z_p⟦T⟧ 上の加群であることがわかった。さらに有限生成であることが示される^[15]。Λ は2次元の正則局所環とよばれる（その上の加群のそれほど粗くない分類が非常に容易であるという意味で）素性の良い環であるので、その有限生成加群には構造定理がある^[19]。これを使うことにより、X は次の形の加群

${\displaystyle \textstyle {\Lambda ^{r}\oplus \prod _{i}\Lambda /(p^{m_{i}})\oplus \prod _{j}\Lambda /(f_{j}(T)^{n_{j}})}}$

と擬同型（pseudo-isomorphism）であること、つまり有限群による違いを除いてこれと同型であることが示される。r はイデアル類群の有限性から0である^[20]。

このようにして得られた岩澤加群 X の表示と A_n = X/(γpⁿ
0  − 1)X を使うことにより A_n の個数を m_i や f_j で表すことができる。そして μ と λ を

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}\mu &=&\textstyle {\sum _{i}m_{i}}\\\lambda &=&\textstyle {\sum _{j}n_{j}\mathrm {deg} f_{j}}\end{array}}}$

で定義すると岩澤類数公式が成り立つことがわかる^[21]。以上が証明の概略である。

なお、すべての p^m_i と f_j(T)^n_j を乗じて得られる多項式

${\displaystyle \textstyle {\mathrm {char} _{\Lambda }(X):=\prod _{i}p^{m_{i}}\prod _{j}f_{j}(T)^{n_{j}}}}$

を岩澤加群 X の特性多項式（characteristic polynomial）といい、これによって生成される Λ のイデアルを特性イデアル（characteristic ideal）という^[19]。char_Λ(X) で特性イデアルの方を表すこともある。特性多項式は任意の有限生成 torsion Λ 加群 M に対して定義され、同様に char_Λ(M) という記号で書かれる。岩澤不変量の λ は特性多項式 char_Λ(X) の次数であり、μ は特性多項式を割り切る最大 p べきの指数である。岩澤主予想は Λ のある2つのイデアルが等しいという予想であるが、そのイデアルのうちの一つが、簡単にいうとこの特性イデアルである。

固有空間への分解

代数体 F に複素共役や Gal(F/Q) が作用している場合には、その作用でイデアル類群を固有空間（eigenspace）^[22]に分解することができ、分解したものたちに対して同様の公式が得られる。

まず複素共役の場合を見る^[23]。F をCM体、p を奇素数、F_∞/F を円分 Z_p 拡大とする。このとき、F_n のイデアル類群のシロー p 部分群 A_n には自然に複素共役が作用し、複素共役が±1倍で作用する部分空間 A±
n  の直和 A_n = A+
n  ⊕ A−
n  に分解できる。A+
n  をプラス部分（+-part）^[24]、A−
n  をマイナス部分（−-part）という。それぞれの部分空間に対して岩澤類数公式が成り立ち、対応する λ と μ をそれぞれ λ^± と μ^± とすると、F_∞/F の λ と μ は λ = λ⁺ + λ⁻, μ = μ⁺ + μ⁻ と分解できる。同様の方法で岩澤加群 X を X ^± に分解したとき、X ⁺ は F の最大実部分体 F ⁺ の円分 Z_p 拡大の岩澤加群と同型になるので、プラス部分は実部分の寄与、マイナス部分は全体と実部分の差と考えられる。マイナス部分の λ については、木田の公式と呼ばれるリーマン・フルヴィッツの公式の類似が成り立つことが知られている^[25][26]。

典型的なCM体は奇素数 p についての p 分体 F = Q(ζ_p) である^[27]。これの最大実部分体の類数は p で割れないという予想をヴァンディバー予想（英語版）という^[28]。もしこれが正しければ、Q(ζ_pⁿ) の最大実部分体の類数も p で割れないので A+
n  は0ということになる^[29]。

次に、Gal(F/Q) でイデアル類群が分解される様子を見るため、典型的な例として F = Q(ζ_p) で F_∞ = ∪_{n ≧ 0} Q(ζ_{p^{n + 1}}) の場合を考える（p は奇素数とする）^[30]。Δ = Gal(F/Q) と置き、ω: Δ → Z×
p  を Δ の任意の元 σ に対して ζσ
p  = ζω(σ)
p  が成り立つ唯一の準同型とする。Δ は F_n のイデアル類群の p 成分 A_n に自然に作用し A_n = ⊕p − 2
k = 0  A(i)
n  と分解できる。ここで A(i)
n  は σa = ωⁱ(σ)a が成り立つ A_n の元たちからなる部分群である。これを ωⁱ 成分（ωⁱ-part）という。ωⁱ 成分に対しても岩澤類数公式が成り立ち、これらの成分に対する岩澤不変量を λ⁽ⁱ⁾, μ⁽ⁱ⁾, ν⁽ⁱ⁾ とすると F_∞/F の岩澤不変量は λ = ∑
i λ⁽ⁱ⁾ などと分解できる。偶数の i に対する ωⁱ 成分は A⁺ に含まれるので、ヴァンディバー予想が正しければこの成分は0である。部分的な結果として、栗原将人によって Ap − 3
0  は0であることが証明されている^[31]。岩澤主予想は、奇数の i に対する ωⁱ 成分に関する予想である。なお、このような分解はもっと一般の状況でも可能であるが、 Δ の指標の値が必ずしも Z×
p  に入らないので、係数拡大が必要となる^[32]。

岩澤不変量

岩澤不変量の λ や μ は Z_p 拡大 F_∞/F に対して定まるので λ(F_∞/F), μ(F_∞/F) などと書かれる^[1]。また、代数体 F と素数 p に対して F の円分 Z_p 拡大 F_∞ は一意に定まるので、このときは λ(F_∞/F) を λ_p(F) と書いたりする^[11]。例えば λ₃(Q(√−239)) = 6 などが知られている^[33]。

λ はイデアル類群の元の位数の増加を示すものであり、μ は p ランクの増加を示すものである^[34][35]。

岩澤不変量にはまだ分からないことが多い^[36]。次のような予想が立てられている。

岩澤 μ 予想 円分 Z_p 拡大 F_∞/F に対しては μ(F_∞/F) = 0 であろう^[37]。

この予想は一般には未解決であるが、F がアーベル体^{[注釈 4]}の場合は正しいことが証明されている（フェレロ・ワシントンの定理（英語版））^[37]。

グリーンバーグ予想（英語版） 総実代数体 F の円分 Z_p 拡大 F_∞/F に対しては λ(F_∞/F) = μ(F_∞/F) = 0 であろう^[37]。

知られていることとしては次のようなことがある^[36]。

• 代数体 F の類数が p で割り切れず、p の上にある F の素イデアルが一つしかないならば、任意の Z_p 拡大 F_∞/F に対して λ = μ = ν = 0 である。

• 素数 p が F/Q で完全分解し、Z_p 拡大 F_∞/F において p の上にある F の素点がすべて分岐するならば λ(F_∞/F) ≧ r₂ である。ここで r₂ は F の複素素点の個数。

特性多項式の具体例

F がアーベル体であれば、その円分 Z_p 拡大の岩澤加群のマイナス部分の特性多項式はスティッケルバーガー元を用いて具体的に構成できる^[38]。さらに F が虚二次体であればプラス部分は自明なので^[39]、マイナス部分の特性多項式が全体の特性多項式である。例えば、p = 3 で F = Q(√−239) の場合は

f (T) ≡ T ⁶ + 1284T ⁵ + 1404T ⁴ + 672T ³ + 1764T ² + 1128T (mod 3⁷)

である^[40]。特性多項式は p 進数係数の多項式なので、mod 3⁷ までの近似で表示している。