1953年（昭和28年）岡山県高梁市に生まれる[4]。地元の岡山県立高梁高等学校へ進学し、1972年（昭和47年）に同校を卒業する[5]。同年東京教育大学（現・筑波大学）教育学部芸術学科に入学。古筆学を専攻し、小松茂美に師事した[6]。1976年に同大学卒業を経て、1979年、山梨英和短期大学講師となり、1984年（昭和59年）に東京国立博物館学芸部美術課書跡室研究員となった[1]。
1994年（平成6年）41歳の時に学芸部美術課書跡室長となり、その後、2001年に学芸部資料課長へ昇進した。2003年、50歳のときに文化財部展示課長となり、2007年、文化財部長、2008年、学芸研究部長。2011年から東京国立博物館の副館長となった。この間、芸術に関する12個の論文を発表した[7]。その多くが、島谷自身が大学時代に研究していた古筆に関するものである[7]。
その後、2015年（平成27年）に九州国立博物館館長に就任した。これが縁となり、2017年から2020年まで、佐賀県書道展の審査委員長を務めた。九州国立博物館の館長時代には、相田みつをに関する講演で、相田みつをの書の魅力として、具体的には、線質や文字の配置、余白の使い方といった特徴を探り、さらに書の歴史や戦争に関連する作品にも触れている。みつをの字は一見単純に見えるかもしれないが、伝統的な書を学び、基礎と美意識に基づいた書であると述べている。加えて、昭和以降の書壇では新しい書が生まれ、みつをもその一環として評価されており、同時代の活躍した書家として金子鷗亭や井上有一も紹介し、みつをの魅力を伝えている[2]。
また、島谷が思う書の楽しみ方として、次のようにアドバイスしている。書の魅力は空間構成や全体の調和、線質、字形などにあり、好きな書を見つける楽しみが広がる。みつをの作品は言葉自体が魅力的で、書としても優れ、何度も楽しめる。自分の部屋に飾りたい作品や一番好きなものを選ぶことで、書展をもっと楽しめると思う。美術展は心を豊かにし、生きる活力を与えてくれる。すべての作品を理解する必要はなく、気になる作品をじっくり楽しむことを勧めたい。自分の感性を大切にし、心に響く作品を探してほしいと述べている[2]。
2019年（平成31年）1月には、第77回山陽新聞賞文化功労部門を受賞している[1]。2021年（令和3年）4月よりこれまでの業績が認められ、国立文化財機構の第3代理事長に就任。また、2023年（令和5年）より皇居三の丸尚蔵館の運営館長にも就任している[1][8]。
