巡回多元環

可換体 F 上の多元環 A が巡回多元環であるとは、それが F 上 n-次の正規単純環であって、かつ n-次の巡回部分体を持つときに言う^[1]。

具体的に、体の n 次巡回拡大 L/K に対し、そのガロア群 Gal(L/K) の生成元を σ とし、β ∈ K^× をとる。β, σ の定める K 上の巡回多元環 (β, L/K, σ) は、n 個の文字 {j⁰, j¹, j², …, jⁿ⁻¹} を基底に持つ n 次元 L-ベクトル空間 A = Lj⁰ ⊕ Lj¹ ⊕ ⋯ ⊕ Ljⁿ⁻¹ (⊕ は直和) を台となる線型空間とし、A に乗法を一般の元

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}j^{k},y=\sum _{k=0}^{n-1}y_{k}j^{k}\ (x_{k},\,y_{k}\in L)}$

に対して

${\displaystyle xy=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{l=0}^{n-1}x_{k}\sigma ^{k}(y_{l})j^{k+l}\quad ({\text{where }}j^{n}=\beta \in K^{\times })}$

と定めたものである。これは j = j¹ に対する以下の二条件

• 指数法則 j^k ⋅ j^l = j^k+l を満たす。
• λ ∈ L に対し交換則 j ⋅ x = σ(x)⋅j を満たす。

を線型に拡張したものとして与えられる。特に、j⁰ = 1_A は A の乗法単位元（したがって、L = Lj⁰ ⊂ A）。また、σ は K の元を動かさない L の非自明な自己同型であるから、K の元は j と可換。これにより A = (β, L/K, σ) が K 上中心的であることが従う。

• n 次巡回拡大 L/K から定まる n 次巡回多元環の K 上の次数は n² である。
• 巡回多元環 (β, L/K, σ) は K 上の中心的単純環で L で分解する。すなわち、n次巡回多元環 (β, L/K, σ) と L との K-多元環のテンソル積は L 上 n 次の全行列環 Mat(n, L) に L-多元環同型: ${\displaystyle (\beta ,L/K,\sigma )\otimes _{K}L\simeq \operatorname {Mat} (n,L)}$ である。
• K の標数が 2 でないものとすると、二次の巡回多元環 (β, K(√α)/K, σ) は (α, β)-型四元数環である。ただし、α は K の平方元でなく、σ は σ(√α) = −√α を満たす K-同型。

• 巡回多元環 (β, L/K, σ) は適当な c ∈ L* に対して β = N_L/K(c) となるとき行列環 M_n(K) に同型である^{[2]:133[3](Theorem 2.6.20(i))}。そうでないとき可除環であり巡回斜体 (cyclic division slgebra) と呼ばれる^[4]。
• 二つの巡回多元環 (β, L/K, σ), (γ, L/K, σ) が同型となるための必要十分条件は、L* の適当な元 c が存在して β = γ⋅N_L/K(c) と書けることである^[2]:133。
• 巡回多元環のテンソル積は適当な巡回多元環にブラウアー同値である^{[3](Theorem 2.6.20(ii))}。
• 体の分離拡大に関するブラウアー群（あるいは拡大のガロワ群のシューア乗因子（英語版）^[5]）の元（ブラウアー同値類）の代表元として接合積（とくに巡回多元環）がとれる。(see also: en:Brauer group#Cyclic algebras)

巡回多元環は、2-コサイクル（因子団（英語版））に対する接合積（英語版） (crossed product algebra)^[6] と呼ばれる多元環に一般化される（巡回拡大に対する接合積が巡回多元環である^{[7]:textcyclic+algebra}）。接合積は群環の一般化でもある。