差積

差積を導入する意義として大きなものは、その変数の入れ替えに関する交代性である。順序付けられている、n 個の変数列 X₁, X₂, …, X_n に、奇置換を施すと差積の符号が変わるが、偶置換を施しても差積の値は変化しない。実は差積は、最も単純な交代式（最簡交代式；the basic alternating polynomial) として特徴づけられる（後述）。

差積は交代式であるから、ある2つの変数が等しい差積は零に等しい。これは、等しい2つの変数を互換しても（入れ替えて）式は変わらない（が符号は変化する）から V_n = −V_n, すなわち V_n = 0 を得る^{[注釈 1]}。

逆に、差積は任意の交代式を割り切る。実際、先に述べた通り、任意の交代式はどの2つの変数についてもそれらが等しいとき零となるのだったから、因数定理により、任意の i < j に対する X_i − X_j が交代式の因数となる。帰結として

命題 (交代式の特徴づけ)

任意の交代式は、差積と対称式との積として書ける。

多項式の判別式とは、重根があるかどうかを判別する式であるが、これは根の差積の平方により定義される（が、差積自身を判別式とする文献もある^[要出典]）。

判別式 Δ の一部である、差積の平方 V_n² は、根を入れ替えても (−1)² = 1 より変化せず、対称式であると分かる。すなわち、差積の平方は、多項式の根の集合（非順序組）に対して定まる不変式となる。

n変数対称式環 Λ_n に差積を添加して得られる二次拡大（英語版） ${\textstyle \Lambda _{n}[V_{n}]/\langle {V_{n}}^{2}-\Delta \rangle }$ として n変数交代式環を表すことができる。

1つの多項式に対して、その根の差積は、その多項式の（最小）分解体に係数を持つ多項式となる。多項式がモニックでないときは、その最高次係数 a を n − 1 個掛けた

${\displaystyle V_{n}:=a^{n-1}\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})}$

をヴァンデルモンド多項式と定義する方が、判別式と整合（ヴァンデルモンド多項式の平方が判別式に一致）する。

任意の環上で考えるなら、交代多項式は差積とは別の多項式をもとに考えた方が都合がよい(Romagny 2005)。

• カペリ多項式（英語版）^[1]