四角錐数

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n番目の四角錐数は 1 から n 番目の平方数 n² までの和に等しいので

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

で表される。これは以下のように証明される。まず n 番目の三角数を T_n 、n 番目の四角錐数を S_n とすると、

${\displaystyle {\frac {S_{1}}{T_{1}}}={\frac {1}{1}}={\frac {3}{3}}\ ,\quad {\frac {S_{2}}{T_{2}}}={\frac {5}{3}}\ ,\quad {\frac {S_{3}}{T_{3}}}={\frac {14}{6}}={\frac {7}{3}}\ ,\quad {\frac {S_{4}}{T_{4}}}={\frac {30}{10}}={\frac {9}{3}}\ ,\ ...\quad ,{\frac {S_{n}}{T_{n}}}={\frac {2n+1}{3}}}$

となるので、

${\displaystyle S_{n}={\frac {2n+1}{3}}\ T_{n}={\frac {2n+1}{3}}\ {\frac {n(n+1)}{2}}}$

が得られる。

また組み合わせの記号を用いると　${\displaystyle S_{n}={}_{n+1}{\rm {C}}_{3}+{}_{n+2}{\rm {C}}_{3}\,}$ となる。これは四角錐数が連続する三角錐数の和で表せることを示しており、四角数が連続する三角数の和で表せることと類似の定理である。

四角錐数は1から順に奇数-奇数-偶数-偶数　といった順番の繰り返しで現れる。

四角錐数のうち三角数でもある数は 1, 55, 91, 208335 の4つのみである。(オンライン整数列大辞典の数列 A039596)

四角錐数のうち平方数でもある数は 1 と 4900 （24番目の四角錐数）の 2 つのみである。また四角錐数でなおかつ三角錐数でもある数は 1 のみである。

n × n マスの方眼の中に含まれる正方形の数は n 番目の四角錐数に等しい。

${\displaystyle 1+2=3}$

${\displaystyle 4+5+6=7+8}$

${\displaystyle 9+10+11+12=13+14+15}$

…

と無限に続く足し算の等式はタルタリアの三角形と呼ばれる。上から n 段目の等式の値は n 番目の四角錐数の3倍である。

${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$

${\displaystyle 10^{2}+11^{2}+12^{2}=13^{2}+14^{2}}$

${\displaystyle 21^{2}+22^{2}+23^{2}+24^{2}=25^{2}+26^{2}+27^{2}}$

…

と無限に続く自乗和の等式も同じ名で呼ばれる。等式の値は n 番目の四角錐数の 12n(n + 1) + 1 倍である。この値は1から n までの立方和の 16(n + 1/2) 倍と n 番目の四角錐数の和にも等しく、1から n までの4乗和（n 番目の四角錐数の {3n(n + 1) - 1}/5 倍）の20倍と n 番目の四角錐数の5倍の和にも等しい。1段目から n 段目までの総和は、足し算の三角形のそれの1/3（即ち1番目から n 番目までの四角錐数の総和）の 8n(n + 2) + 1 倍である。

• 四角数
• 四角錐
• 三角錐数, 五角錐数

• Weisstein, Eric W. “Square Pyramidal Number”. mathworld.wolfram.com (英語).