四角錐

四角錐（しかくすい、英: Square pyramid）とは、四角形の底面と4枚の三角形の側面からなる錐体である。四角形は多角形なので、四角錐は角錐でもある。

特に正四角錐は建築の歴史の中で、エジプトのピラミッドやこれに類似した建造物などの例を通じて現れる。化学においても四角錐形分子構造という形で現れる。正四角錐はよく他の多面体の構成に用いられ、四次元ポリトープの立方体錐（英語版）の胞としても用いられる。

種類

長方錐（ちょうほうすい） - 底面が長方形である四角錐。^[要出典]
方錐（ほうすい） - 底面が正方形である四角錐。^[要出典]
斜方錐（しゃほうすい） - 斜錐である方錐。^[要出典]

側面が正三角形である正四角錐は、ジョンソンの立体の1番目である。

正四角錐

底面が正方形の直錐(頂点が底面の正方形の中心の直上にある四角錐)である。側面は４枚の合同な二等辺三角形である。

底面の正方形の一辺の長さを $l$ ,側面の脚(二等辺三角形の長さが等しい二辺)の長さを $b$ とすると、正四角錐の高さ $h$ と体積 $V$ は

h={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}

V={\frac {1}{3}}l^{2}h={\frac {1}{3}}l^{2}{\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}

となり、表面積 $A$ は

A=2l{\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}+l^{2}

任意の正四角錐は、適当な直交変換により、以下の方程式に変換できる。

{\frac {|X|}{k}}+{\frac {|Y|}{k}}-|Z|=0

ここで $k$ は、この正四角錐を平面 $Z=1$ で切断したときの、断面の境界(正方形)の一辺の長さになる。

古代、多くの数学者たちは正四角錐の体積を計算する公式を発見した。モスクワ数学パピルスには、エジプトの数学者たちが正四角錐台の体積を計算する公式を知っていたことが示されており、これは同時に彼らが正四角錐の体積公式を知っていたことを示唆する。しかしその公式がどのように導かれたかは不明である。リンド数学パピルス^[1]では体積だけでなく傾斜角や高さを求める問題も見られる。バビロニアの数学者たちも錐台の体積について考察していたが、導いた公式は誤っていた^[2]。中国の数学者劉徽も直方体を分割する方法で直方錐の体積公式を発見した^[3]。

他の正多角錐と同様に、正四角錐はpyramidal symmetry（英語版）、つまり巡回群 $C_{4v}$ による対称性を持つ。この四角錐は回転対称であり、底面の正方形の中心と頂点を結ぶ直線を軸として $90^{\circ },180^{\circ },270^{\circ },360^{\circ }$ 回転させると元の立体と完全に重なる。また面対称（英語版）でもあり底面の対称軸を通り、底面に垂直な平面を対称面に持つ^[4]。これは車輪グラフ $W_{4}$ として表せる。つまりこれの骨格は４つの頂点がユニバーサル頂点（英語版）という中心で結ばれている正方形として解釈できる。正四角錐は自己双対で、つまり正四角錐の双対多面体は正四角錐自身である^[5]。

ジョンソンの立体となる正四角錐

概要正四角錐 (ジョンソンの立体), 種別 ...

正四角錐 (ジョンソンの立体)

種別	ジョンソンの立体、角錐 J₉₂ – J₁ – J₂
面数	5
面形状	正三角形: 4 正方形: 1
辺数	8
頂点数	5
頂点形状	1(3⁴) 4(3², 4)
対称群	C_4v
双対多面体	自己双対
特性	凸集合 elementary polyhedron（英語版）
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性質

高さ: 一辺を $a$ とすると $h={a \over {\sqrt {2}}}$
表面積: 一辺を $a$ とすると $S=({\sqrt {3}}+1)a^{2}$
体積: 一辺を $a$ とすると $V={{a^{3}} \over {3{\sqrt {2}}}}$

正四角錐の側面がすべて正三角形のとき、これはジョンソンの立体となる。側面の正三角形どうしの二面角は $\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109.47^{\circ }$ で、側面と底面の二面角は $\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }$ である^[4]。

この正四角錐はelementary polyhedron（英語版）である。つまりこの立体は一つの平面によって二つのより小さな正多角形のみからなる多面体に分けることができない^[6]。

ジョンソンの立体としての四角錐は、直交座標系において以下のように表される頂点を適当に結ぶことで構成される。: $(\pm 1,0,0),(0,\pm 1,0),(0,0,1)$

ジョンソンの立体となる角錐は四角錐と五角錐のみである。(三角錐は正四面体、六角錐は正三角形だと重なってしまう。)

応用

エジプトのピラミッドは建築において、正四角錐形建造物の一例である。

メソアメリカのピラミッド（英語版）の一つ。エジプトのものに似た建造物で、頂上が平らで斜面に階段が付いている。

建築において、エジプトのピラミッドは正四角錐形に類似した建造物の一例である。^[7]ピラミッド学者（英語版）はケプラー三角形や黄金比に基づいた理論を含むギザの大ピラミッドのデザインについての説を提唱してきた。しかし現代の学者は、当時のエジプト人の数学や比の知見により基づいているとして、整数比を用いた説明を好んでいる^[8] 。メソアメリカのピラミッド（英語版）もエジプトのものに似た正四角錐形の建造物である。これらは頂上が平らで斜面に階段があるかどうかが異なる^[9]。エジプトのピラミッドを模倣した近代建築にはフランスのルーヴル・ピラミッドやラスベガスにある統合型リゾートルクソールなどがある。

立体化学において、原子団は正四角錐形をとりえる。正四角錐形分子は活性な孤立電子対を持つ典型元素を持ち、これは原子の幾何学的構造を予想する原子価殻電子対反発則から説明される^[10]。このような構造を持つ分子として、五フッ化塩素、五フッ化臭素、五フッ化ヨウ素などがある^[11]。

近縁な立体

正四角錐柱
（底面に正六面体を追加）
双四角錐柱
(立方体の向かい合う二面に底面を張り合わせる)
四方六面体
(正六面体の各面に底面を張り合わせる)
正四角錐反柱
（底面に正反四角柱を追加）
双四角錐反柱
(正反四角柱の両底面に正四角錐の底面を張り付ける)
正八面体
（底面同士で貼り合わせる）
側錐三角柱など側錐角柱
（柱の側面に底面を張り合わせる）
側錐球形屋根
（底面に球形屋根を追加）
正四面体
（角の数を減らす）
正五角錐
（角の数を増やす）
異相双四角台塔
（Expansionを行う）

参照

出典

[1]
Cromwell (1997), pp. 20–22.
[2]
Eves (1997), p. 2.
[3]
Wagner (1979).
[4]
Johnson (1966).
[5]
Wohlleben (2019), p. 485–486.
[6]
Hartshorne (2000), p. 464; Johnson (1966).
[7]
Kinsey, Moore & Prassidis (2011), p. 371.
[8]
Herz-Fischler (2000) surveys many alternative theories for this pyramid's shape. See Chapter 11, "Kepler triangle theory", pp. 80–91, for material specific to the Kepler triangle, and p. 166 for the conclusion that the Kepler triangle theory can be eliminated by the principle that "A theory must correspond to a level of mathematics consistent with what was known to the ancient Egyptians." See note 3, p. 229, for the history of Kepler's work with this triangle. See Rossi (2004), pp. 67–68, quoting that "there is no direct evidence in any ancient Egyptian written mathematical source of any arithmetic calculation or geometrical construction which could be classified as the Golden Section ... convergence to $\varphi$ , and $\varphi$ itself as a number, do not fit with the extant Middle Kingdom mathematical sources"; see also extensive discussion of multiple alternative theories for the shape of the pyramid and other Egyptian architecture, pp. 7–56. See also Rossi & Tout (2002) and Markowsky (1992).
[9]
Feder (2010), p. 34; Takacs & Cline (2015), p. 16.
[10]
Petrucci, Harwood & Herring (2002), p. 414.
[11]
Emeléus (1969), p. 13.

参考文献

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種類

正四角錐

ジョンソンの立体となる正四角錐

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近縁な立体

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