排反

論理学においては、２つの命題 ${\displaystyle \phi }$ および ${\displaystyle \psi }$ が排反であるとは、それらが同時に真となることが論理的に不可能（英語版）であること、すなわち ${\displaystyle \lnot (\phi \land \psi )}$ が恒真式であることを指す。 ３以上の命題に対する排反性が意味することは文脈によって "${\displaystyle \lnot (\phi _{1}\land \phi _{2})\land \lnot (\phi _{1}\land \phi _{3})\land \lnot (\phi _{2}\land \phi _{3})}$ が恒真式" (同時に2つ以上の命題が真となることは論理的に不可能) または "${\displaystyle \lnot (\phi _{1}\land \phi _{2}\land \phi _{3})}$ が恒真式" (すべての命題が同時に真となることは論理的に不可能)のいずれかとなる。なお、「対ごとに排反、互いに排反(英: pairwise mutually exclusive)」という場合は前者の意味となる。

確率論においては、${\displaystyle n}$ 個の事象${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{n}}$ が排反であると言われるのは、それらのいずれかの事象が発生すると、残りの ${\displaystyle n-1}$ 個の事象が発生しない場合である。したがって、2つの互いに排反な事象は同時に発生しない。形式的には、${\displaystyle X}$ が互いに排他的である集合であるとは、任意の ${\displaystyle E_{i},E_{j}\in X}$　に対して${\displaystyle E_{i}\neq E_{j}}$ ならば ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }$ である時であり、かつその時に限る。このことの帰結として、互いに排反な事象 ${\displaystyle A,B}$ について${\displaystyle P(A\cap B)=0}$ および ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$ が成立する。

事象が網羅的（英語版）であるとは、それらの可能な事象によって結果のすべての可能性が網羅される場合を指す。したがって、それらの結果のうち少なくとも1つが発生する確率は1となる。事象は同時に網羅的かつ互いに排反であるようになることもある。^[1]