数論幾何学

数論幾何学は、代数方程式、特にディオファントス方程式の整数解・有理数解を、幾何学的対象として理解することを目的とする。

スキーム論の出現後、数論幾何学は整数環 Z のスペクトル上の有限型のアレクサンドル・グロタンディークのスキームの研究として定義できる。この視点は半世紀以上に渡って非常に影響的である。それは（可換環論の現在のことばを用いるために）数論を整数上の多項式環の商である環だけで扱おうとするレオポルト・クロネッカーの野望をはたすものと非常に広くみなされている。実はスキーム論は全く「有限的」にはみえないあらゆる種類の補助的構成を用いるので、「構成主義派」の思想とはそのようなものとして関係が薄い。スキーム論がそうではないことは、p 進数とは違って素イデアルから来ない「無限素点」（実と複素の局所体）への継続的な興味から現れる。

問題の例としては次のようなものがある。

• ある数体のすべての完備化において多項式方程式の根を見つけることができるならば、その方程式はその体上で根を持つと結論できるか？ ある場合にはその問題に答えることができ、別の場合には答えは否定的だが、（予想：）障害を知りしたがっていつこれがうまくいくかを知ろうとする。
• 有限体上の多項式方程式系が与えられたとき、どうやって根の個数を数えるか？ 体を拡大したとき、根はどのように増えるか？

• 楕円曲線論・ディオファントス幾何学（英語版）
• ヴェイユ予想、エタール・コホモロジー
• モジュラ形式、L-関数・ゼータ函数
• アーベル多様体
• モチーフ理論
• K理論

• 三枝洋一『数論幾何入門: モジュラー曲線から大定理・大予想へ』森北出版、2024年。ISBN 978-4-627-07891-8。
• 森下昌紀『ガロア圏と基本群』森北出版、2024年。ISBN 978-4627083912。
• 山崎隆雄：『初等数論幾何』森北出版、ISBN 978-4-627-08441-4 (2026年6月)。

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