格子モデル

格子モデルの簡単な例として、アメリカ型プット・オプションの公正価値を二進木で表現する価格評価モデルを考える。まず、原資産が、配当率（株価に対する比率で示した率） q が既知である株式の場合を考える。現在の株価を S₀ 、そのボラティリティを σ、行使価格を K 、無リスク金利を r とする。オプションの満期までの期間 T を、長さ δt の N = T /δt 個の期間に分割し、時点 i δt での j 番目の格子点 (i , j) （0 ≤j ≤i ≤N ） におけるオプション価格を f_{i , j} とする。

${\displaystyle {\begin{aligned}&u=e^{\sigma {\sqrt {\delta t}}}\\&d=e^{-\sigma {\sqrt {\delta t}}}\\&p={\frac {e^{(r-q)\delta t}-d}{u-d}}\end{aligned}}}$

に対し、

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{N,j}=\max \left\{K-S_{0}u^{j}d^{N-j},0\right\}\qquad (j=0,1,\cdots ,N)\\&f_{i,j}=\max \left\{K-S_{0}u^{j}d^{i-j},e^{(w-r)\delta t}\{pf_{i+1,j+1}+(1-p)f_{i+1,j}\}\right\}\,\end{aligned}}}$

により、i = N から 1 ずつ減らし、遡って帰納的に f_{i, j} が求められる。ここで、u , d はそれぞれ、二項格子における株価の上昇率、下降率、p は、株価上昇の危険中立確率である。

株価指数オプション、通貨オプション、先物オプションの場合、上式で q をそれぞれ、株式ポートフォリオの配当率、外国通貨の無リスク金利、自国通貨の無リスク金利（＝r） に置き換えれば良い。

• オプション取引

• 『二項モデル』 - コトバンク