極大部分群
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数学では、
群論においては、群 G の極大部分群 H は、H を真部分群として含む真部分群 K が存在しないような真部分群のことである[1][2]。換言すれば、H は、G に等しくない G の部分群のなす半順序集合の極大元である。極大部分群は、G の原始置換表現との直接的な結びつきから興味の対象となる。また、有限群の研究のためにも盛んに研究されている: 例えば、極大部分群の共通部分であるフラッティーニ部分群を参照。
半群論においては、半群 S の極大部分群とは、 S の部分群（すなわち、部分半群であって、半群演算によって群をなすもの）であり、他の S の部分群に真部分集合として包含されないもののことである。ここで、極大部分群が真部分集合であるという条件が課されていないことに注意せよ: もし S が実際には群であったとすると、その唯一の（半群論の意味での）極大部分群は S それ自身になる。半群の部分群、とくに極大部分群を考察することにより、しばしば半群論において群論的なテクニックを用いることができる[要出典]。半群の冪等元と、その半群の極大部分群の間には 1 対 1 の対応がある: 各冪等元は、それぞれ別個の極大部分群の単位元となる。
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