正則性公理

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任意の集合は、元をもたないか、自身と互いに素な元をもつ。

${\displaystyle \forall x\left[\exists w\left[w\in x\right]\Rightarrow \exists y\left[y\in x\land \lnot \ \exists z\left[z\in x\land z\in y\right]\right]\right]}$^[1]

これは（対の公理とともに）、たとえば、どの集合もそれ自体の元ではなく、どの集合も順序数のランクを有することを意味する。

下記のどの命題も、ZF公理系の他の公理のもとで同値であり、どれを正則性公理として採用しても差し支えない^[2]。

• ${\displaystyle \forall x\left[x=\varnothing \lor \exists y\left[y\in x\land \forall z\left[z\not \in x\lor z\not \in y\right]\right]\right]}$
• ${\displaystyle \forall x\left[x=\varnothing \lor \exists y\left[y\in x\land x\cap y=\varnothing \right]\right]}$
• 任意の集合 ${\displaystyle x}$ について、${\displaystyle \in }$ が ${\displaystyle x}$ 上の整礎関係である。
• ${\displaystyle V=WF}$

${\displaystyle V}$ は集合論の宇宙を指し、${\displaystyle WF}$ は整礎的集合全体のクラス（フォン・ノイマン宇宙）を指す。

ZF公理系内に限って説明を進める。${\displaystyle R}$ を下記のように定義する。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ は冪集合を返す関数である。

• ${\displaystyle R\left(0\right)=\varnothing }$
• 任意の順序数 ${\displaystyle \alpha }$ について、${\displaystyle R\left(\alpha +1\right)={\mathcal {P}}\left(R\left(\alpha \right)\right)}$
• 任意の極限順序数 ${\displaystyle \alpha }$ について、${\displaystyle R\left(\alpha \right)={\begin{aligned}\bigcup _{\beta \,<\,\alpha }^{}\end{aligned}}R\left(\beta \right)}$

クラス ${\displaystyle WF}$ はこれらを全て集めたものとして定義される。

${\displaystyle WF={\begin{aligned}\bigcup _{\alpha \,\in \,ON}^{}\end{aligned}}R\left(\alpha \right)}$

ZF公理系の他の公理から得られる種々の集合演算（対集合、和集合、冪集合）の結果としての集合は常に ${\displaystyle WF}$ 内に含まれる。すなわち ${\displaystyle V=WF}$ は、全ての集合を ${\displaystyle \varnothing }$ に通常の集合演算を施して得られるものに限ると定める。したがって、例えば ${\displaystyle x=\left\{x\right\}}$ を満たす ${\displaystyle x}$ や、${\displaystyle \exists y\left[x\in y\land y\in x\right]}$ を満たす ${\displaystyle x}$ は、正則性の公理の下で集合にならない。

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WF の定義より、x ∈ WF のとき、x ∈ R(α) を満たす最小の順序数 α は後続順序数になる。実際、α を極限順序数として x ∈ R(α) 及び ∀β < α, x ∉ R(β) が成り立っているとすると、

${\displaystyle x\notin \bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )=R(\alpha )}$

となって矛盾する。

そこで、集合 x のランクを次のように定義する。

x ∈ WF のとき、x ∈ R(β + 1) を満たす最小の β を集合 x のランクといい、rank(x) で表す。

よって、rank(x) = β ならば

${\displaystyle \forall \alpha >\beta ;x\in R(\alpha )}$

が成り立ち、x ∈ R(β) かつ x ⊂ R(β) となる。また、このランクの概念を用いて R(α) は次のように特徴付けられる。

${\displaystyle \forall \alpha ;R(\alpha )=\{x\in {\mathit {WF}}\mid \operatorname {rank} (x)<\alpha \}}$

及び、

${\displaystyle \forall x\in {\mathit {WF}}{\bigl (}\operatorname {rank} (x)<\alpha \iff \exists \beta <\alpha ;x\in R(\beta +1)\iff x\in R(\alpha ){\bigr )}}$

ランクを計算するときに次の補題を使う。

${\displaystyle y\in {\mathit {WF}}}$のとき、

${\displaystyle x\in y\implies x\in {\mathit {WF}}}$

かつ

${\displaystyle \operatorname {rank} (x)<\operatorname {rank} (y)}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (y)=\alpha }$ とすると ${\displaystyle y\in R(\alpha +1)={\mathcal {P}}(R(\alpha ))}$

${\displaystyle x\in y}$ ならば ${\displaystyle x\in R(\alpha )=\{x\in {\mathit {WF}}\mid \operatorname {rank} (x)<\alpha \}}$だから${\displaystyle \operatorname {rank} (x)<\alpha }$