相反多項式

任意の体に係数を持つ多項式 p が

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}$

で与えられるとき、その相反多項式 p* または p^R[1][2][3] は

${\displaystyle p^{*}(x):=a_{n}+a_{n-1}x+\cdots +a_{0}x^{n}=x^{n}p(x^{-1})}$

で定義される^[4]。

多項式 p が複素数に係数をとる特別の場合には、多項式

${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}}$

に対する共軛相反多項式 p^† が

${\displaystyle p^{\dagger }(z):={\bar {a}}+{\bar {a}}_{n-1}z+\cdots +{\bar {a}}_{0}z^{n}=z^{n}\,{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}}$

として定義される。ただし、複素数 w に対して w はその複素共軛を表す。紛れの虞の無い場合には、これを単に相反多項式と呼ぶこともある。

多項式 p が自己相反であるとは、p = p* が成り立つときにいう。共軛相反の意味での自己相反多項式の係数は、必ずすべて実数でなければならない。

相反多項式と元の多項式を結び付ける性質は幾つかあるが、例えば

1. p(x) = xⁿ⋅p*(x⁻¹)^[3]
2. α が多項式 p の根ならば α⁻¹ は p* の根であり、逆もまた然り^[5]。
3. p(x) ≠ x なる多項式 p が既約であることと、p^∗ が既約であることとは同値^[4]。
4. p が原始多項式となる必要十分条件は p* が原始的となることである^[5]。

ほかに相反多項式自身に関する性質としては例えば

• 自己相反多項式が既約ならばその次数は偶数でなければならない^[4]（同じことだが、奇数次の自己相反多項式は可約である）。

自己相反多項式は、それを昇冪あるいは降冪の順に表すときその係数が回文となるから、p は回文多項式と呼ばれる（回文多項式の根を記述する方程式は相反方程式（対称方程式）と言う^[6][7]）。すなわち、次数 n の多項式 $${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$$ が回文的であるとは、a_i = a_n−i (∀i = 0, 1, …, n) を満たすときに言う。^{[注 1]}

同様に n-次多項式 P が反回文的 (antipalindromic) あるいは反自己相反であるとは、a_i = −a_n−i (∀i = 0, 1, …, n) を満たすときに言う。これはP(x) = –P*(x) とも書ける。

多項式 p が自己（共軛）相反的であるとは、p(z) ≡ p^†(z) を満たすことを言う。単位円上の適当なスケール因子 ω に対して p(z) ≡ ωp^† を満たすならば自己反転的 (self-inversive) という^{[13][要ページ番号]}。

p(z) が |z₀| = 1 かつ z₀ ≠ 1 なる複素数 z₀ の実係数最小多項式ならば p(z) は自己相反である。実際、

${\displaystyle p^{\dagger }(z_{0})=z_{0}^{n}\,{\overline {p(1/{\bar {z}}_{0})}}=z_{0}^{n}\,{\overline {p(z_{0})}}=z_{0}^{n}\,{\bar {0}}=0}$

が成り立つから z₀ は p^†(z) の根で、これは n-次だから最小多項式の一意性により適当な定数 c を以って

${\displaystyle cp(z)=p^{\dagger }(z)\quad ({\text{i.e. }}ca_{i}={\bar {a}}_{n-i}=a_{n-i})}$

が成り立つが、ここで i = 0 から n までの和を取れば、1 が p の根でなかったことと合わせて c = 1 を得る。

この帰結として、n > 1 に対する円分多項式 Φ_n は自己相反であることが分かる。これは x¹¹ ± 1, x¹³ ± 1, x¹⁵ ± 1, x²¹ ± 1 の形の数に対して、それぞれ次数が 5, 6, 4, 6（x の冪指数のオイラー数 φ がそれぞれ 10, 12, 8, 12 であることに注意）であるような多項式を用いて代数的因数が得られることを用いて因数分解する特殊数体篩法（英語版）に用いられる。

相反多項式は巡回誤り訂正符号の理論に用いられる。xⁿ − 1 が二つの多項式の積に分解されると仮定して、それを xⁿ − 1 = g(x)p(x) と書く。g(x) が巡回符号 C を生成するとき、その相反多項式 p^∗(x) は双対符号 C^⊥ を生成する^[14]。また、C が自己直交（つまり C ⊆ C^⊥）であるための必要十分条件は p^∗(x) が g(x) を割り切ることである^[15]。