符号付き距離関数

Ωを距離空間Xの部分集合とし、${\displaystyle \partial \Omega }$をその境界とする。Xの点xとXの部分集合${\displaystyle \partial \Omega }$との距離は自然に次のように定義される。 $${\displaystyle d(x,\partial \Omega )=\inf _{y\in \partial \Omega }d(x,y),}$$ ここで${\displaystyle \inf }$は下限を表す。

点xからXの${\displaystyle \Omega }$までの符号付き距離関数は次のように定義される。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}d(x,\partial \Omega )&{\text{if }}x\in \Omega \\-d(x,\partial \Omega )&{\text{if }}\,x\notin \Omega .\end{cases}}}$$

Ωがユークリッド空間Rⁿの区分的に滑らかな境界を持つ部分集合である場合、符号付き距離関数はほとんど至る所で微分可能であり、その勾配はアイコナール方程式を満たす。

$${\displaystyle |\nabla f|=1}$$

Ωの境界がk ≥ 2でC^k（滑らかな関数#滑らかさの分類を参照）である場合、dはΩの境界に十分に近い点でC^kである。^[3] 特に、境界f上においては

$${\displaystyle \nabla f(x)=N(x)}$$

を満たす。ここでNは内向きの法ベクトル場である。したがって、符号付き距離関数は法ベクトル場の微分可能な拡張である。特に、Ωの境界における符号付き距離関数のヘッセ行列は形作要素（英語版）を与える。

さらに、Ωの境界に十分に近くfがその上で2回連続的に微分可能である領域Γに対し、符号付き距離関数と最も近い境界点の変数変換のヤコビアンには形作用素W_xを用いた公式が存在する。特に、T(∂Ω, μ)がΩの境界から距離μ以内の点の集合（つまり、半径μの管状近傍）であり、gがΓ上の絶対可積分関数である場合、

$${\displaystyle \int _{T(\partial \Omega ,\mu )}g(x)\,dx=\int _{\partial \Omega }\int _{-\mu }^{\mu }g(u+\lambda N(u))\,\det(I-\lambda W_{u})\,d\lambda \,dS_{u}}$$

が成り立つ。ここでdetは行列式を示し、dS_uは面積分を取ることを示す^[4]。

符号付き距離関数を計算するためのアルゴリズムには、効率的なファストマーチング法（英語版）、ファストスウィーピング法（英語版）^[5] およびより一般的なレベルセット法（英語版）がある。

ボクセルレンダリング向けには、タクシー幾何学でSDFを計算するために範囲総和表（英語版）を使用する高速アルゴリズムが存在する^[6]。