素数が無数に存在することの証明

『原論』第9巻命題20^[1]で、素数が無数に存在することが示されている。その証明は、次の通りである^[2]。なお「任意」は誤訳と思われる。

a, b, …, k を任意に与えられた素数のリストとする。その最小公倍数 P ≔ a × b × ⋯ × k に 1 を加えた数 P + 1 は、素数であるか、合成数のいずれかである。素数であれば、最初のリストに含まれない素数が得られたことになる。素数でなければ、何らかの素数 p で割り切れるが、p はやはり最初のリストに含まれない。なぜならば、リスト中の素数は P を割り切るので、P + 1 を割り切ることは不可能だからである。任意の素数のリストから、リストに含まれない新たな素数が得られるので、素数は無数に存在する。

この証明は、しばしば次のような背理法の形で表現される。

素数の個数が有限と仮定し、p₁, … p_n が素数の全てとする。その積 P = p₁ × ⋯ × p_n に 1 を加えた数 P + 1 は、p₁, …, p_n のいずれでも割り切れないので、素数でなければならない。しかし、これは p₁, …, p_n が素数の全てであるという仮定に反する。よって、仮定が誤りであり、素数は無限に存在する。

この形の証明のために、「ユークリッドは、背理法で素数が無数にあることを証明した」「ユークリッドの証明は、存在のみを示しており、具体的な構成の手続きを示していない」「ユークリッドは、最初のいくつかの素数の積に1を加えた数が素数であることを証明した」などの誤解をする者がいるが、いずれも正しくない^[3]。『原論』の証明は背理法ではなく、直接証明（英語版）である場合分け（英語版）によるものである。また、最後の主張は「 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 = 30,031 」という反例により、歴史的にのみならず数学的にも誤りである。

1878年、クンマーは、P + 1 の代わりに P − 1 を考えても、同様に証明できることを注意した^[4]。

ゴールドバッハは、1730年7月にオイラーに宛てた手紙の中で、フェルマー数

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

を利用して、素数が無数にあることを証明している^[5]。

フェルマー数たちが互いに素であることが示されれば、無数にあるフェルマー数の素因子を考えることにより、無数に素数を得る。実際、m に関する数学的帰納法により、簡単に

${\displaystyle F_{0}F_{1}\cdots F_{m}=F_{m+1}-2}$

が得られるので、ある素数 p が2つのフェルマー数を割り切るとすると、p は 2 も割り切ることになって不合理である。

オイラーによる証明^[4][6]は、リーマンゼータ関数のオイラー積表示を用いたものである。

素数は有限個の p₁, …, p_n からなると仮定する。各素数 p_i に対し、等比級数の公式により

${\displaystyle {\frac {1}{1-{p_{i}}^{-1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{p_{i}}^{k}}}}$

が成り立つ。i = 1, …, n における両辺の総乗を取ると、任意の自然数は素数の積として一意に表せる（算術の基本定理）ことより、

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-{p_{i}}^{-1}}}=\prod _{i=1}^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{p_{i}}^{k}}}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}}$

を得る。左辺は有限値であるのに対し、右辺は調和級数であり、発散するので、矛盾する。

素数の逆数和は（無限大に）発散することが示されば、素数は無数に存在することが直ちに従う。素数の逆数和が発散することは、オイラーが初めて証明したが、以下はエルデシュが1938年に発表した、より簡潔な証明である^[6]。

素数の逆数和は収束すると仮定する。n 番目の素数を p_n で表すことにすると、ある番号 k が存在して

${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}}$

である。素数全体を2つのグループに分け、p₁, …, p_k を「小さい」素数、p_k+1 以降を「大きい」素数と呼ぶことにする。N 以下の自然数で、「大きい」素数で割れる数と、「小さい」素数でしか割れない数に分け、前者の個数を N₁、後者の個数を N₂ とおく。当然 N = N₁ + N₂ である。

以下、N₁ と N₂ の大きさを見積もる。N 以下の p の倍数の個数は、床関数を用いて

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {N}{p}}\right\rfloor }$

と表せるから、

${\displaystyle N_{1}\leq \sum _{i=k+1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {N}{p_{i}}}\right\rfloor \leq \sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {N}{p_{i}}}<{\frac {N}{2}}}$

を得る。ここに、最後の不等号は上記の仮定から従う。次に、x を小さい素数でしか割れない N 以下の自然数とし、x = uv²（u は平方因子を含まない） と表す。u の可能性は高々 2^k 通りであり、v² ≤ x ≤ N であるから、

${\displaystyle N_{2}\leq 2^{k}{\sqrt {N}}}$

を得る。よって、

${\displaystyle N=N_{1}+N_{2}<{\frac {N}{2}}+2^{k}{\sqrt {N}}}$

となる。しかし、この式は N = 2^2k+2 に対して成り立たない。

フュルステンベルグの証明は、トポロジーを用いたものである^[4][6]。彼は、まだ学部生であった1955年に、証明を発表した。

整数全体からなる集合 Z に、両方向への無限等差数列

${\displaystyle a\mathbb {Z} +b=\{ax+b\mid x\in \mathbb {Z} \}}$

（ただし、a, b は整数で、a ≠ 0）全体を開基とする位相を定める。換言すれば、この位相における開集合は、（空集合であるか）任意個の無限等差数列の和集合である。このとき、空でない有限集合は開集合ではないことに注意する。

任意の無限等差数列は、開集合であると同時に、

${\displaystyle a\mathbb {Z} +b=\mathbb {Z} \setminus \left(\bigcup _{i=1}^{a-1}(a\mathbb {Z} +b+i)\right)}$

という表示により、閉集合でもある。p₁, …, p_n が素数全体と仮定すると、

${\displaystyle A:=\bigcup _{i=1}^{n}p_{i}\mathbb {Z} }$

は有限個の閉集合の和集合であるから閉集合である。したがって閉集合 A の補集合 A^c = Z∖A は開集合である。ところが ±1 以外の任意の整数は何らかの素数で割り切れるから、A^c = {±1} である。これは空でない有限集合であるため開集合ではなく、矛盾が生じる。

ライプニッツの公式をオイラー積の形で表すと^[7]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\times {\frac {5}{4}}\times {\frac {7}{8}}\times {\frac {11}{12}}\times {\frac {13}{12}}\times {\frac {17}{16}}\times {\frac {19}{20}}\times {\frac {23}{24}}\times {\frac {29}{28}}\times {\frac {31}{32}}\times \cdots \;}$

この積の分子は奇素数であり、分母はそれぞれに対応する分子に一番近い 4 の倍数である。もし素数が有限個ならば π は有理数として表すことができる。しかし π は無理数なので、背理法より素数は無限に存在する。

現代においても、新たな証明が次々に提案されている。その中でも、2006年に発表されたフィリップ・サイダックによる証明は非常に簡潔である^[8][9]。

n は2以上の整数とする。n と n + 1 は互いに素 なので、N₂ := n(n + 1) は少なくとも2つの異なる素因子を持つ。同様に、N₂ と N₂ + 1 は互いに素なので、N₃ := N₂(N₂ + 1) は少なくとも3つの異なる素因子を持つ。この操作を続けることにより、任意に多くの異なる素因子を持つ数を構成することができるので、素数は無数に存在する。