虫食い算

戦後の日本

日本においては和算による虫食い算も存在したが、昭和初期には西洋の虫食い算が紹介されている。戦前から戦中に虫食い算を紹介した人物として高木茂男は藤本幸三郎、楠本虎四郎、佐野昌一、江口雅彦の4人を挙げている^[7]。このうち、楠本以外の3人は当時紹介のみで創作を行っていなかったとされる。

1946年（昭和21年）

佐野昌一『虫食い算大会』が出版される。

1947年（昭和22年）

文部省発行の算数・数学の教科書に虫食い算が掲載される^[7]。

昭和20年代

大学入試の進学適性検査の問題として毎年のように虫食い算が出題された^[7]。

この時期に創作を開始した人物としては泉行蔵、森本清吾、夏目康男、江口雅彦、佐藤米吉らの名前が挙げられる^[7]。

高木茂男が「年賀虫食い算」を始めたのもこの時期である^[7]。

1964年（昭和39年）

雑誌『数芸パズル』創刊。虫食い算を含む様々なパズルの発表の場が与えられた。

1976年（昭和51年）

雑誌『詰将棋パラダイス』に「虫食算研究室」のコーナーができる。

読者から問題・解答を募る形式のため、多くの作品が寄せられた。

丸尾学・山本行雄・浅尾和義が担当を勤め、22年続いた。

1980年（昭和55年）

雑誌『パズル通信ニコリ』創刊。

創刊当初から虫食い算・覆面算に数ページを割いており、17号からは「スージーコーナー」という独立したコーナーとなっている（71号まで）。

5号より毎号テーマを決めて覆面算を募集していたが、投稿数低下のため107号（04年夏号）からは不定期連載となった。

着順発表と呼ばれる覆面算の解答競争も行われていた（現在でも同コーナーは存在するが、パズルは覆面算に限らなくなっている）。

孤独のn

ヒントとして数字が1個のみ提示されているものを総称して「孤独のn」と呼ぶ^[12]。割り算において割り切れたことを示す最下段の0は除いて考える。この呼称は、1923年頃にE・F・オドリングが発表した作品「孤独の7」に由来する^[13]。

孤独の7

							□	７	□	□	□
□	□	□	）	□	□	□	□	□	□	□	□
				□	□	□	□
						□	□	□
						□	□	□
						□	□	□	□
							□	□	□
								□	□	□	□
								□	□	□	□
											０

完全虫食い算

ヒントとして数字が全く提示されていないものを完全虫食い算と呼ぶ。まったく条件のつかない完全虫食い算の例としては、

□＋□＋□＋□＋□＋□＋□＋□＋□＝□

がある^[14]。しかし、通常は何らかの制約条件（小数点・循環小数・使用数字の制限など）が加えられる。このとき、制約条件の一つとして割り算において割り切れたことを示す最下段の0はあってもよい^[14]。

例題　□には0以外の偶数が入る。

	□	□	□
×		□	□
	□	□	□
□	□	□
□	□	□	□

小町虫食い算

□の中に1～9（あるいは0～9）の数字が1つずつ入るように指定したものを小町虫食い算と呼ぶ。この呼称は、1～9を使い100を表す小町算にちなんでいる^[15]。

例題　小町虫食い算　――1から9までの9種の数字をはめこむ（9と4はすでに使いずみ）^[16]

${\displaystyle 94{\frac {\square \square \square \square }{\square \square \square }}=100}$

0～9を2個ずつ・3個ずつ使用する問題もあり、それらは「ダブル小町」「トリプル小町」などとも呼ばれる。1943年にオランダの数学者Fred. Schuh（1875年 - 1966年）はダブル小町完全虫食い算という条件作を発表している^[17]。

ダブル小町完全虫食い算 ―― □のなかには0から9までの数字が2つずつ入る。

		□	□	□
×		□	□	□
		□	□	□
	□	□	□
□	□	□
□	□	□	□	□

多重虫食い算

升目の中に色違いの物を配置し、色違いの升目だけでも筆算が成り立つようにする問題を多重虫食い算という。制約が強く、数字が全くない完全虫食い算になることが多い^[18]。

例題 ■で表された1桁×1桁=2桁の筆算も成り立つようにする。

					□	□	□
□	□	）	□	□	■	□	□
				□	■
				■	■	□
					□	□
					□	□	□
					□	□	□
							０

この例題は1桁同士の掛け算だが、2桁以上の掛け算で中間積もあるものもある。掛け算の部分が覆面算になっているものもある。

例題2 盤面の「かめ×かめ=かえる」も成り立つようにする

			□	□	□	□
		×		□	□	□
		□	□	□	□	□
	□	□	か	め	□
□	□	□	か	め
□	□	か	え	る	□	□

さらなる変化形として「A+B=C」のような式を盤面に配置し、各文字の値が式を満たすようにする問題もある。

グループ化

0～9を2つのグループ（偶数と奇数・4以下と5以上 など）に分け、グループによって入れる升目を変える問題。

バリエーションとして、特定の升目には同じ数字、他の升目にはそれ以外の数字を入れる問題もある。リチャード・P・ファインマンのものとされる「ファインマンの問題」はこのタイプの問題の中でよく知られているものの1つである。小野田博一は、盤面にイラストを配置し「イラストは特定の2数字のいずれか、白マスはそれ以外」という問題を創作し、自書や学習研究社の出版物などで発表している。

例題 ◇には素数（2,3,5,7）、◎にはそれ以外の数を入れる。

	◎	◎
×	◎	◎
◎	◎	◇
◇	◇
◎	◎	◇

例題2 「梨」には7か4、□にはそれ以外の数字が入る

	□	□
×	□	梨
	梨	□
□	梨
□	梨	□

加減算

足し算と引き算は、虫食い算より覆面算の作例が多い。理由としては□に制約がなく数字を入れ替えた別解が発生しやすいことがあげられる。

以下の問題は一意解である。

• 12□ + 3□4 = □56
• □ + 7□ + □□ + □□ = □1

算数の演習問題として虫食い算が出題されるときには、1つの□に複数桁の数字が入ることがある。以下はその一例である。

• 123 + □ = 789

数学記号

数学記号や関数を使用した虫食い算が存在する。これらは数学の知識が必要になるので通常の問題ほど多くは発表されていない。以下はその一例である。

• √□! + (□!)! = □
• log_□□□0□ + log_□□0□□ = □0

平方根

筆算による開平を元にした虫食い算が存在する。大駒, 武 & 丸尾 (1985, p. 71)には問題が収録されているが、現在では義務教育で教えられていないため、この形式の問題を見ることはほとんどない。

例題　開平算

		□		□		□
√	□	□	□	□	□	９
		□
		□	□	□
			□	□
			□	□	□	□
			□	□	□	□
						０

十字問題

数字を格子状に配置し、タテヨコに並ぶ数をつないで式を作り成り立たせる問題。1930年頃のドイツで見られた形式であり、日本では楠本虎四郎が自著で複数の問題を発表している^[7]。

例題

□3	×	□	=	□□
+		-		+
□□	-	□	=	□
=		=		=
□□	×	□	=	□□□