複素速度ポテンシャル

2次元かつ非粘性、渦なしの流れについて、速度ポテンシャル Φ と流れ関数 Ψ の双方が定義できる。この双方に対し、ある参照点の任意方位について勾配をとると、2つの勾配ベクトルは参照点速度の直交しあう成分であり、それらの合ベクトルは勾配参照の方位によらず一意に定まる。この性質は複素平面上の正則条件に相当する。

数式の上では速度 u = (u , v ) が次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\\v&={\frac {\partial \phi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\end{aligned}}}$

実数軸にx、u、Φ、虚数軸にy、ｖ、Ψをとり、ひとつの複素関数として束ねることで次の正則関数、複素速度ポテンシャル W (z ) を定義できる。

${\displaystyle W(z)=\phi +i\psi ,\quad z=x+iy}$

前述のu,vの式は、このWに対するコーシー・リーマンの方程式に他ならない。

複素速度ポテンシャルW (z ) の微分から速度場が得られる：

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=u-iv}$

複素速度ポテンシャルを定義し複素解析の手法を適用することで、流れ場の解析が容易となる。

いくつかの単純な流れを、複素速度ポテンシャルで表現する。

大きさがU 、x 軸となす角がαの向きの一様流は次式で表される。

${\displaystyle W(z)=Uze^{-i\alpha }}$

湧き出し及び吸い込みは次式で表される。

${\displaystyle W(z)=m\log z}$

ここでm は湧き出し、吸い込みの強さを表す実定数であり、m > 0なら湧き出し、m < 0なら吸い込みを表す。また、湧き出し、吸い込みの流量Q は次式となる。

${\displaystyle Q=2\pi m}$

渦糸の周りの流れは次式で表される。

${\displaystyle W(z)=i\kappa \log z}$

ここでκは渦糸の強さを表す実定数であり、循環Γは次式となる。

${\displaystyle \Gamma =-2\pi \kappa }$

x 軸上の+a 、-a の位置に強さ-m 、+m の吸い込みと湧き出しがある場合、複素速度ポテンシャルは

${\displaystyle W(z)=-m\log(z-a)+m\log(z+a)}$

となる。ここでa →0、2ma →b > 0の極限をとれば

${\displaystyle W(z)={\frac {b}{z}}}$

となる。この流れを強さb の二重湧き出しという。

この節の加筆が望まれています。

1. ↑ 小池勝『流体機械工学』コロナ社、2009年。ISBN 978-4-339-04474-4。