循環 (流体力学)

ストークスの定理によって、循環は渦度と以下のように関連付けされる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Gamma }=\oint _{\mathrm {C} }{\boldsymbol {v}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\int _{\mathrm {S} }({\boldsymbol {\mathsf {rot}}}\,{\boldsymbol {v}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\int _{\mathrm {S} }{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\end{aligned}}}$

ただし、積分経路 C は閉曲線であるだけでなく、面積要素 S の境界 C = ∂S でなければいけない。ここで

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\mathsf {rot}}}\,{\boldsymbol {v}}}$

は渦度である。

以下の定理が成り立つ。

• ケルビンの渦定理 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、流体とともに動く閉曲線に沿う循環は時間的に不変である^[1]。」
• ヘルムホルツの渦定理

「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦管は渦管として行動し、かつ、その強さは一定不変である^[2]」

• ラグランジュの渦定理 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦は不生不滅である^[2]。」