集合値函数

集合 X から集合 Y への集合値写像 F : X ⇉ Y とは、X の各要素 x に Y の部分集合 F(x) ⊂ Y (空集合であってもよい) を対応付ける作用である^[1]。F : X ↝ Y と表すこともある^[2]。以下では特に X と Y がともに距離空間の場合について、基本的な定義と性質について説明する。第一レベルの箇条書きが定義、第二レベルの箇条書きが性質である。

• 集合値写像 F のグラフ (graph) とは、積空間の部分集合 Graph(F) := {(x, y) ∈ X × Y  |  y ∈ F(x)} である^[5]。グラフが空集合でないとき、F は非自明 (nontrivial) であるという^[5]。
• x における F の像 (image) または値 (value)とは、F(x) のことである^[5]。任意の x について像が非空であるならば、F は狭義 (strict) の集合値写像であるという^[5]。
• 定義域 (domain) とは、像が非空である x の集合 Dom(F) := {x ∈ X  |  F(x) ≠ ∅} である^[5]。
• F の像 (image) とは、全ての x についての F(x) の和集合 Im(F) := ⋃x∈X F(x) である^[5]。
• F の逆写像 (inverse) F⁻¹ とは、Y から X への集合値写像であって、x ∈ F⁻¹(y) ⇔ y ∈ F(x) ⇔ (x, y) ∈ Graph(F) を満たすものである^[5]。
  • F の定義域、F⁻¹ の像、Graph(F) の空間 X への射影、の三者は一致し、また同様に、F の像、F⁻¹ の定義域、Graph(F) の空間 Y への射影、の三者は一致する^[5]。
• K を X の部分集合とするとき、F の K への制限 (restriction) F|_K とは、F|_K := {F(x)  (x ∈ K)
  ∅    (x ∉ K) で定義される集合値写像である^[5]。
• 位相空間及び距離空間の部分集合としての性質 φ (例えば閉、凸、可測など) について、F が φ値 (φ-valued) であるとは、F のグラフが X × Y の部分集合として φ であることである^[6]。
• 単項および二項の集合演算の演算子 ☆ が与えられたとき、☆(F) および F₁ ☆ F₂ はそれぞれ ☆(F)(x) = ☆(F(x)) および (F₁ ☆ F₂)(x) = F₁(x) ☆ F₂(x) で定義される^[7]。
• 2つの集合値写像 F, G について G が F の拡張 (extention) であるとは、Graph(F) ⊂ Graph(G) となることであり、このとき F ⊂ G と表す^[7]。
  • 演算と拡張について以下が成り立つ^[7]。
    • F(K₁ ∪ K₂) = F(K₁) ∪ F(K₂)
    • F(K₁ ∩ K₂) ⊂ F(K₁) ∩ F(K₂)
    • F(X ∖ K) ⊃ Im(F) ∖ F(K)
    • K₁ ⊂ K₂ ⇒ F(K₁) ⊂ F(K₂)
• Y の部分集合 M について、F による M の逆像 (inverse image、弱逆像) とは、F⁻¹(M) := {x ∈ X  |  F(x) ∩ M ≠ ∅} であり、また、F による M の核 (core、強逆像) とは、F⁺¹(M) := {x ∈ X  |  F(x) ⊂ M} である^[7][8]。
  • 逆像と核について以下が成り立つ^[8][9]。
    • F⁺¹(Y ∖ M) = X ∖ F⁻¹(M)
    • F⁻¹(Y ∖ M) = X ∖ F⁺¹(M)

• 正の実数 R₊ からその冪集合への写像 φ: R₊ → 𝒫(R₊) を φ(x) = [0,x] と定めれば集合値函数になる。
• （通常の）写像 f: D → Z が与えられたとき、各元 y ∈ Z に対して原像 f⁻¹(y) を対応させる写像は、集合値函数 Z → 𝒫(D) を定める。
• 一般に、任意の集合族、従って特に任意の集合列は、添字に対して集合を割り当てるものであるから、それ自体を集合値函数と捉えることもできる。