電子移動度

2キャリアモデルの導出

半導体や半金属のように、電子（密度 ${\displaystyle n}$、移動度 ${\displaystyle \mu _{e}}$）と正孔（密度 ${\displaystyle p}$、移動度 ${\displaystyle \mu _{h}}$）が共存する系において、磁場 ${\displaystyle B}$ を印加した際の輸送現象は2キャリアモデルによって記述される。磁場が印加された際の、単一キャリアの伝導率テンソル成分は、運動方程式の定常解から次のように得られる。ここでは便宜上、電子の電荷を ${\displaystyle q=-e}$ と定義する。

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {ne\mu _{e}}{1+(\mu _{e}B)^{2}}},\quad \sigma _{xy}=-{\frac {ne\mu _{e}^{2}B}{1+(\mu _{e}B)^{2}}}}$

正孔（電荷 ${\displaystyle q=+e}$）の寄与を加え、系全体の伝導率テンソル成分をそれぞれの和として構成すると、全体の縦伝導率 ${\displaystyle \sigma _{xx}}$ およびホール伝導率 ${\displaystyle \sigma _{xy}}$ は以下の通りに定式化される^[4]。

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {ne\mu _{e}}{1+(\mu _{e}B)^{2}}}+{\frac {pe\mu _{h}}{1+(\mu _{h}B)^{2}}}}$

${\displaystyle \sigma _{xy}=eB\left({\frac {p\mu _{h}^{2}}{1+(\mu _{h}B)^{2}}}-{\frac {n\mu _{e}^{2}}{1+(\mu _{e}B)^{2}}}\right)}$

実測されるホール抵抗率 ${\displaystyle \rho _{xy}}$ は、テンソル変換式 ${\displaystyle \rho _{xy}=\sigma _{xy}/(\sigma _{xx}^{2}+\sigma _{xy}^{2})}$ によって算出される。低磁場極限（${\displaystyle \mu B\ll 1}$）において、分母の磁場依存項を無視できる近似を用いると、ホール係数 ${\displaystyle R_{H}=\rho _{xy}/B}$ は次のように導出される。

${\displaystyle R_{H}={\frac {1}{e}}{\frac {p\mu _{h}^{2}-n\mu _{e}^{2}}{(p\mu _{h}+n\mu _{e})^{2}}}}$

この結果は、キャリア密度が等しい補償型の物質（${\displaystyle n=p}$）であっても、電子と正孔の移動度に差があればホール係数は有限の値を持ち、より高い移動度を持つキャリアの符号が支配的になることを示唆している。