Cubo del Príncipe Ruperto

Coloca dos puntos en dos aristas adyacentes de un cubo unitario, cada uno a una distancia de 3/4 del punto donde se encuentran las dos aristas, y otros dos puntos simétricamente en la cara opuesta del cubo. Entonces estos cuatro puntos forman un cuadrado de lado largo.

${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\approx 1.0606601.}$

Una forma de verlo es observar primero que estos cuatro puntos forman un rectángulo, por las simetrías de su construcción. Las longitudes de los cuatro lados de este rectángulo son iguales a ${\displaystyle (3{\sqrt {2}})/4}$ por el teorema de Pitágoras o (equivalentemente) la fórmula de la distancia euclidiana en tres dimensiones. Por ejemplo, los dos primeros puntos, junto con el tercer punto donde se encuentran sus dos aristas, forman un triángulo rectángulo isósceles con catetos de longitud ${\displaystyle 3/4}$ y la distancia entre los dos primeros puntos es la hipotenusa del triángulo. Como rectángulo de cuatro lados iguales, la forma formada por estos cuatro puntos es un cuadrado. Extruyendo el cuadrado en ambas direcciones perpendicularmente a sí mismo se forma el hueco por el que se introduce un cubo mayor que el original, hasta la longitud de lado ${\displaystyle (3{\sqrt {2}})/4}$ puede pasar.^[1]

Las partes del cubo unitario que quedan, después de vaciar este agujero, forman dos prismas triangulares y dos tetraedros irregulares, unidos por puentes delgados en los cuatro vértices del cuadrado. Cada prisma tiene como sus seis vértices dos vértices adyacentes del cubo, y cuatro puntos a lo largo de los bordes del cubo a distancia 1/4 de estos vértices del cubo. Cada tetraedro tiene como sus cuatro vértices un vértice del cubo, dos puntos a distancia 3/4 de él en dos de las aristas adyacentes, y un punto a distancia 3/16 del vértice del cubo a lo largo de la tercera arista adyacente.^[2]

El cubo del príncipe Ruperto debe su nombre al príncipe Ruperto del Rin. Según una anécdota contada en 1693 por el matemático inglés John Wallis, el príncipe Ruperto apostó a que se podía hacer un agujero en un cubo lo suficientemente grande como para dejar pasar otro cubo del mismo tamaño. Wallis demostró que, en efecto, tal agujero era posible (con algunos errores que no se corrigieron hasta mucho después), y el príncipe Ruperto ganó su apuesta.^[3][4]

Wallis supuso que el agujero sería paralelo a una diagonal espacial del cubo. La proyección del cubo sobre un plano perpendicular a esta diagonal es un hexágono regular, y el mejor agujero paralelo a la diagonal puede encontrarse dibujando el mayor cuadrado posible que pueda inscribirse en este hexágono. Calculando el tamaño de este cuadrado se obtiene que un cubo de lado:

${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\approx 1.03527}$

Ligeramente mayor que uno, es capaz de atravesar el agujero.^[3]

Aproximadamente 100 años después, el matemático holandés Pieter Nieuwland descubrió que se puede conseguir una solución mejor utilizando un agujero con un ángulo diferente al de la diagonal del espacio. De hecho, la solución de Nieuwland es óptima. Nieuwland murió en 1794, un año después de ocupar un puesto como profesor en la Universidad de Leiden, y su solución fue publicada póstumamente en 1816 por el mentor de Nieuwland, Jean Henri van Swinden.^[3][4][5]

Desde entonces, el problema se ha repetido en muchos libros de matemáticas recreativas, en algunos casos con la solución subóptima de Wallis en lugar de la solución óptima.^{[1][2][6][7][8][9][10][11][12]}

La construcción de un modelo físico del cubo del Príncipe Ruperto se ve dificultada por la precisión con la que debe medirse dicho modelo y la delgadez de las conexiones entre las partes restantes del cubo unitario una vez que se le ha practicado el agujero. Para el cubo interior de tamaño máximo con una longitud ≈1,06 en relación con el cubo exterior de longitud 1, construir un modelo es «matemáticamente posible pero prácticamente imposible».^[13] Por otro lado, si se utiliza la orientación del cubo máximo pero se hace un agujero más pequeño, lo suficientemente grande sólo para un cubo unitario, queda un grosor adicional que permite la integridad estructural.^[14]

Para el ejemplo que utiliza dos cubos del mismo tamaño, como propuso originalmente el príncipe Ruperto, es posible la construcción de modelos. En un estudio del problema de 1950, D. J. E. Schrek publicó fotografías de un modelo de un cubo que pasaba a través de un agujero en otro cubo.^[15] Martin Raynsford ha diseñado una plantilla para construir modelos de papel de un cubo con otro cubo que pasa a través de él; sin embargo, para tener en cuenta las tolerancias de la construcción en papel y no rasgar el papel en las uniones estrechas entre las partes del cubo perforado, el agujero del modelo de Raynsford sólo deja pasar cubos que son ligeramente más pequeños que el cubo exterior.^[16]

Desde la llegada de la impresión en 3D, la construcción de un cubo del príncipe Ruperto de la proporción completa 1:1 se ha convertido en algo sencillo.^[17]