Bases mutuellement impartiales

La notion de bases mutuellement impartiales a d'abord été introduit par Schwinger en 1960^[2], et la première personne à considérer des applications de bases mutuellement impartiales a été Ivanovic^[3], avec le problème de la détermination de l'état quantique.

Un autre domaine où les bases mutuellement impartiales peuvent être appliquées est la distribution de clés quantique , plus précisément dans l'échange sécurisé de clés quantiques^[4]. Les bases mutuellement impartiales sont utilisées dans de nombreux protocoles puisque que le résultat est aléatoire quand une mesure est faite sur une base impartiale par rapport à celle dont l'état a été préparé, établi. Lorsque deux parties distantes partagent deux états quantiques non orthogonaux, les tentatives d'usurpation en les distinguant par des mesures affecteront le système, ce qui peut être détecté. Alors que de nombreux protocoles de cryptographie quantique se sont appuyés sur des technologies à 1 bit, l'utilisation d'états de plus grande dimension, tels que les qutrits, permet une meilleure sécurité contre l'écoute, l'usurpation. Ce qui motive l'étude des bases mutuellement impartiales dans des espaces de plus grande dimension.

D'autres utilisations de bases mutuellement impartiales incluent la reconstruction d'état quantique^[5], les codes de correction d'erreur quantique^[6],[7], la détection de l'intrication quantique^[8], et le dénommé "problème du roi"^[9],[10].

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Soit ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(d)}$ le nombre maximum de bases mutuellement impartiales dans l'espace de Hilbert d-dimensionnelle C^d. C'est une question ouverte^[11] combien de bases mutuellement impartiales, ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(d)}$ on peut trouver dans C^d, avec d comme arbitraire.

En général, si

${\displaystyle d=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}}$

est la factorisation en puissance de nombres premiers de d, où

${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}<p_{2}^{n_{2}}<\cdots <p_{k}^{n_{k}}}$

le nombre maximal de bases mutuellement impartiales peut être construit et satisfait

${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}+1\leq {\mathfrak {M}}(d)\leq d+1.}$

Il en résulte que, si la dimension d'un espace de Hilbert d est une puissance entière d'un nombre premier, alors il est possible de trouver d + 1 bases mutuellement impartiales. Ceci peut être vu dans l'équation précédente, car la décomposition en nombres premiers de d est tout simplement ${\displaystyle d=p^{n}}$. Donc,

${\displaystyle {\mathfrak {M}}(p^{n})=p^{n}+1.}$

Ainsi, le nombre maximum de bases mutuellement impartiales est connu lorsque d est une puissance entière d'un nombre premier, mais il n'est pas connu pour l’arbitraire d.

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Les trois bases

${\displaystyle M_{0}=\left\{|0\rangle ,|1\rangle \right\}}$

${\displaystyle M_{1}=\left\{{\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}},{\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\right\}}$

${\displaystyle M_{2}=\left\{{\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}},{\frac {|0\rangle -i|1\rangle }{\sqrt {2}}}\right\}}$

fournissent l'exemple le plus simple de bases mutuellement impartiales dans C². Les bases ci-dessus sont composées des vecteurs propres du spin des matrices de Pauli ${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{z}}$ et leur produit ${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{z}}$.

Pour d = 4, un exemple de d + 1 = 5 bases mutuellement impartiales où chaque base est notée M_j, 0 ≤ j ≤ 4, est donné comme suit^[12] :

${\displaystyle M_{0}=\left\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\right\}}$

${\displaystyle M_{1}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,1,1,1),{\frac {1}{2}}(1,1,-1,-1),{\frac {1}{2}}(1,-1,-1,1),{\frac {1}{2}}(1,-1,1,-1)\right\}}$

${\displaystyle M_{2}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-1,-i,-i),{\frac {1}{2}}(1,-1,i,i),{\frac {1}{2}}(1,1,i,-i),{\frac {1}{2}}(1,1,-i,i)\right\}}$

${\displaystyle M_{3}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-i,-i,-1),{\frac {1}{2}}(1,-i,i,1),{\frac {1}{2}}(1,i,i,-1),{\frac {1}{2}}(1,i,-i,1)\right\}}$

${\displaystyle M_{4}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-i,-1,-i),{\frac {1}{2}}(1,-i,1,i),{\frac {1}{2}}(1,i,-1,i),{\frac {1}{2}}(1,i,1,-i)\right\}}$

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Soit ${\displaystyle {\hat {X}}}$ et ${\displaystyle {\hat {Z}}}$ deux opérateurs unitaires dans l'espace de Hilbert C,^d tels que

${\displaystyle {\hat {Z}}{\hat {X}}=\omega {\hat {X}}{\hat {Z}}}$

Pour des facteurs de phase ${\displaystyle \omega }$. Si ${\displaystyle \omega }$ est une racine primitive de l'unité, par exemple ${\displaystyle \omega \equiv e^{\frac {2\pi i}{d}}}$ alors les bases propres de ${\displaystyle {\hat {X}}}$ et ${\displaystyle {\hat {Z}}}$ sont mutuellement impartiales.

En choisissant la base propre de ${\displaystyle {\hat {Z}}}$ comme, base standard , nous pouvons générer une autre base qui lui est mutuellement impartiale à l'aide de la matrice de Fourier. Les éléments de la matrice de Fourier sont donnés par

${\displaystyle F_{ab}=\omega ^{ab},0\leq a,b\leq N-1}$

D'autres bases qui sont mutuellement impartiales à la fois par rapport à la base standard et de la base générée par la matrice de la transformée de Fourier peuvent être générées à l'aide des groupes de Weyl. La dimension de l'espace de Hilbert est importante lors de la génération des ensembles de bases mutuellement impartiales en utilisant des groupes de Weyl. Lorsque d est un nombre premier, les usuelles d + 1 bases mutuellement impartiales peuvent être générés à l'aide de groupes de Weyl. Lorsque d n'est pas un nombre premier, il est alors possible que le nombre maximal de bases mutuellement impartiales pouvant être générées à l'aide de cette méthode soit 3.

Méthode des opérateurs unitaires utilisant des champs finis^[13] :

Lorsque d = p est premier, on définit les opérateurs unitaire ${\displaystyle {\hat {X}}}$ et ${\displaystyle {\hat {Z}}}$ par

${\displaystyle {\hat {X}}=\sum _{k=0}^{d-1}|k+1\rangle \langle k|}$

${\displaystyle {\hat {Z}}=\sum _{k=0}^{d-1}\omega ^{k}|k\rangle \langle k|}$

où ${\displaystyle \{|k\rangle |0\leq j\leq d-1\}}$ est la base standard et ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}}}$ est une racine de l'unité.

Alors les bases propres des opérateurs d + 1 sont mutuellement impartiales:

${\displaystyle {\hat {X}},{\hat {Z}},{\hat {X}}{\hat {Z}},{\hat {X}}{\hat {Z}}^{2}...{\hat {X}}{\hat {Z}}^{d-1}}$

Lorsque ${\displaystyle d=p^{r}}$ est une puissance d'un nombre premier, nous utilisons le champ fini ${\displaystyle \mathbb {F} _{d}}$ un ensemble maximal de d + 1 bases mutuellement impartiales. Nous étiquetons les éléments de la base de calcul de C^d en utilisant le champ fini: ${\displaystyle \{|a\rangle |a\in \mathbb {F} _{d}\}}$.

Nous définissons les opérateurs ${\displaystyle {\hat {X_{a}}}}$ and ${\displaystyle {\hat {Z_{b}}}}$ de la manière suivante :

${\displaystyle {\hat {X_{a}}}=\sum _{c\in \mathbb {F} _{d}}|c+a\rangle \langle c|}$

${\displaystyle {\hat {Z_{b}}}=\sum _{c\in \mathbb {F} _{d}}\chi (bc)|c\rangle \langle c|}$

où

${\displaystyle \chi (\theta )=\exp \left[{\frac {2\pi i}{p}}\left(\theta +\theta ^{p}+\theta ^{p^{2}}+\cdots +\theta ^{p^{r-1}}\right)\right],}$

est un caractère additif sur le champ de l'addition et de la multiplication dans les technologies clés génériques et de la ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ et c'est ${\displaystyle \mathbb {F} _{d}}$.

Ensuite, nous formons d + 1 ensembles d'opérateurs unitaires de commutations :

${\displaystyle \{{\hat {Z_{s}}}|s\in \mathbb {F} _{d}\}}$ et ${\displaystyle \{{\hat {X_{s}}}{\hat {Z_{sr}}}|s\in \mathbb {F} _{d}\}}$ pour chaque ${\displaystyle r\in \mathbb {F} _{d}}$

Les bases propres communes des opérateurs d'un ensemble sont mutuellement impartiales par rapport à celles de tout autre ensemble. Nous avons donc d + 1 bases mutuellement impartiales.

Étant donné qu'une base dans un espace de Hilbert est la base standard, alors toutes les bases impartiales par rapport à cette base peuvent être représentées par les colonnes d'une matrice complexe de Hadamard multipliées par un facteur de normalisation. Pour d = 3 ces matrices auraient la forme

${\displaystyle U={\frac {1}{\sqrt {d}}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\e^{i\phi _{10}}&e^{i\phi _{11}}&e^{i\phi _{12}}\\e^{i\phi _{20}}&e^{i\phi _{21}}&e^{i\phi _{22}}\end{bmatrix}}}$

Le problème de trouver un ensemble de k+1 bases mutuellement impartiales correspond à la recherche de k matrices de Hadamard complexes impartiales.

Un exemple d'une famille de matrices de Hadamard à un paramètre dans un espace de Hilbert à 4 dimensions est ${\displaystyle H_{4}(\phi )={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&e^{i\phi }&-1&-e^{i\phi }\\1&-1&1&-1\\1&-e^{i\phi }&-1&e^{i\phi }\end{bmatrix}}}$

La plus petite dimension qui n'est pas une puissance entière d'un nombre premier est d = 6. C'est aussi la plus petite dimension pour laquelle le nombre de bases mutuellement impartiales n'est pas connu. Les méthodes utilisées pour déterminer le nombre de bases mutuellement impartiales lorsque d est une puissance entière d'un nombre premier ne peuvent pas être utilisées dans ce cas. La recherche d'un ensemble de quatre bases mutuellement impartiales lorsque d = 6, à la fois par l'utilisation de matrices de Hadamard et des méthodes numériques^[14],[15] ont été infructueuses. La croyance générale est que le nombre maximum de bases mutuellement impartiales pour d = 6 est ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(6)=3}$^[1].