Complément de Schur

• Lorsque B est la transposée de C, la matrice M est symétrique définie positive si et seulement si D et son complément de Schur dans M le sont.
• Le complément de Schur apparaît en particulier comme le résultat d'une élimination de Gauss « partielle » en multipliant la matrice M à droite avec la matrice « triangulaire inférieure par blocs » suivante

${\displaystyle LT={\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{bmatrix}}.}$

Ici, I_p désigne la matrice identité de dimension p×p. Après multiplication par la matrice LT, le complément de Schur apparaît dans le bloc p×p supérieur. La matrice produit est

${\displaystyle M\cdot LT={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}.}$

L'inverse de M peut ainsi être exprimée en termes de D⁻¹ et de l'inverse du complément de Schur

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}},}$

ou encore plus simplement,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}I&0\\-D^{-1}C&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-BD^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}.}$

• De même, si A est inversible, son complément de Schur est par définition D – CA⁻¹B, et si ce dernier est également inversible on a :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}.}$

Le complément de Schur apparaît naturellement lors de la résolution d'un système d'équations linéaires de la forme

${\displaystyle Ax+By=a}$

${\displaystyle Cx+Dy=b}$

où

• x et a sont des vecteurs colonne de dimension p,
• y et b sont des vecteurs colonne de dimension q,
• A, B, C, D sont comme précédemment.

En multipliant la seconde équation par BD⁻¹ puis en la soustrayant de la première, il vient

${\displaystyle (A-BD^{-1}C)x=a-BD^{-1}b.}$

Ainsi, la résolution de cette équation en x est possible dès que D et son complément de Schur sont inversibles. Il est ensuite possible d'obtenir y en résolvant l'équation Cx + Dy = b. Cette méthode réduit le problème de l'inversion d'une matrice de dimension (p + q) × (p + q) à celui de l'inversion de deux matrices de dimensions respectives p×p et q×q. En pratique, la matrice D doit être bien conditionnée pour rendre la méthode précise.