Théorème du rang

Ce théorème résulte immédiatement du fait que pour tout sous-espace vectoriel V de E, on a^[1] dim E = dim E/V + dim V et du théorème de factorisation d'après lequel E/ker(f) est isomorphe à im(f).

Une autre démonstration, constructive^[3], consiste à vérifier que pour toute base (u_s)_s∈S du noyau et toute base (f(u_t))_t∈T de l'image — indexées par des ensembles S et T disjoints —, (u_r)_r∈S⋃T est une base de E :

• cette famille est génératrice : pour tout vecteur x, en notant x_t les coordonnées de f(x) dans la base de l'image, et x_s celles de x – ∑x_tu_t dans la base du noyau, on obtient x = ∑x_ru_r ;
• elle est libre : si une combinaison linéaire ∑x_ru_r est nulle alors, en prenant l'image par f, 0 + ∑_t∈T x_tf(u_t) = 0, donc par indépendance des f(u_t) les x_t sont nuls, si bien que l'hypothèse de départ se simplifie en ∑_s∈S x_su_s = 0, dont on déduit, par indépendance des u_s, que les x_s sont nuls aussi.

Lorsque les espaces vectoriels E et F sont de dimension finie et ont même dimension n, le théorème du rang permet d'établir^[4],[5] l'équivalence entre les propriétés suivantes :

1. l'application f est un isomorphisme de E sur F ;
2. l'application f est surjective.
3. l'application f est injective ;
4. le rang de f est égal à n.

Soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E de dimension finie dans lui-même. On a comme précédemment la relation :

${\displaystyle \mathrm {dim\,im} f+\mathrm {dim\,} \ker f=\mathrm {rg} (f)+\mathrm {dim\,} \ker f=\dim E\,}$,

d'où l'on déduit que im f et ker f sont supplémentaires si et seulement si leur intersection est réduite au vecteur nul.

Si A est une matrice (m, n) sur un corps K, alors

${\displaystyle {\rm {rg}}\,A+{\rm {dim}}(\ker A)=n}$.

où ker A est le noyau de la matrice A défini par

${\displaystyle \ker A:=\{X\in {\mathcal {M}}_{n,1}(K)\mid AX=0\}}$

qui est un sous-espace vectoriel de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n,1}(K)}$.

Si U est l'application linéaire de Kⁿ dans K^m canoniquement associée à la matrice A, alors ker U a la même dimension que ker A, on peut donc écrire le théorème du rang ci-dessus sous la forme suivante:

${\displaystyle {\rm {rg}}A+{\rm {dim\,}}(\ker U)=n}$

Ce théorème est une forme particulière du premier théorème d'isomorphisme de l'algèbre dans le cas des espaces vectoriels.

Dans un langage plus moderne, le théorème peut être énoncé de la manière suivante : si

${\displaystyle 0\rightarrow D\rightarrow E\rightarrow F\rightarrow 0}$

est une suite exacte courte d'espaces vectoriels, alors

${\displaystyle {\rm {dim}}(D)+{\rm {dim}}(F)={\rm {dim}}(E).}$

Ici, F joue le rôle de im f et D celui de ker f.

Cette formulation peut être généralisée à une suite exacte de longueur quelconque (éventuellement infinie) : si

${\displaystyle \ldots \to E_{n-1}\to E_{n}\to E_{n+1}\to \ldots }$

est une suite exacte d'espaces vectoriels, alors

${\displaystyle \sum _{n{\text{ pair}}}\dim(E_{n})=\sum _{n{\text{ impair}}}\dim(E_{n}),}$

ce qui, lorsque les seuls E_n non nuls sont ceux tels que p ≤ n ≤ q et sont de dimensions finies, se réécrit :

${\displaystyle \sum _{n=p}^{q}(-1)^{n}\dim(E_{n})=0.}$

Le théorème du rang pour des espaces vectoriels de dimension finie peut aussi être formulé en termes d'indice d'application linéaire. L'indice d'une application linéaire f de E dans F, où E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie, est défini par

${\displaystyle {\rm {indice}}f={\rm {dim}}(\ker f)-{\rm {dim}}({\rm {coker}}f)}$ où coker désigne le conoyau de f.

Intuitivement, dim(ker f) est le nombre de solutions indépendantes x de l'équation f(x) = 0, et dim(coker f) est le nombre de restrictions indépendantes sur y ∈ F pour rendre l'équation f(x) = y résoluble. Le théorème du rang pour des espaces vectoriels de dimension finie est équivalent à la proposition

${\displaystyle {\rm {indice}}f={\rm {dim}}(E)-{\rm {dim}}(F)}$

Cela signifie que l'indice est indépendant de la fonction f choisie dans L(E, F). Ce résultat est généralisé par le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer, qui affirme que l'indice de certains opérateurs différentiels peut être obtenu à partir de la géométrie des espaces impliqués.

• Portail de l’algèbre