Loi de Wishart inverse

Paramètres

\nu >p-1\!

Degré de liberté

\mathbf {\Psi } >0\,

paramètre d'échelle inverse (

p\times p

matrice définie positive)

Supportl'ensemble des matrices définies positives

Densité de probabilité

{\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{\frac {\nu }{2}}}{2^{\frac {\nu p}{2}}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left|\mathbf {X} \right|^{-{\frac {\nu +p+1}{2}}}{\rm {e}}^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {\Psi } }\mathbf {X} ^{-1})}

où $\Gamma _{p}$ est la fonction gamma multidimensionnelle et $\mathrm {tr}$ est la fonction trace

Espérance

{\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}

Loi de Wishart inverse



Paramètres	$\nu >p-1\!$ Degré de liberté $\mathbf {\Psi } >0\,$ paramètre d'échelle inverse ( $p\times p$ matrice définie positive)
Support	l'ensemble des matrices définies positives
Densité de probabilité	${\frac {\left\|{\mathbf {\Psi } }\right\|^{\frac {\nu }{2}}}{2^{\frac {\nu p}{2}}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left\|\mathbf {X} \right\|^{-{\frac {\nu +p+1}{2}}}{\rm {e}}^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {\Psi } }\mathbf {X} ^{-1})}$ où $\Gamma _{p}$ est la fonction gamma multidimensionnelle et $\mathrm {tr}$ est la fonction trace
Espérance	${\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}$
Mode	${\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu +p+1}}$ ^[1]
Variance	voir l'article
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Wishart inverse, également appelée loi de Wishart inversée, est une loi de probabilité définie sur l'ensemble des matrices définies positives à coefficients réels.

Une variable qui suit une loi de Wishart inverse sera notée $\mathbf {X} \sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )$ et est définie par la loi de sa matrice inverse : $\mathbf {X} ^{-1}$ suit une loi de Wishart $W({\mathbf {\Psi } }^{-1},\nu )$ .

La densité de probabilité de la loi de Wishart inverse est :

{\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{\frac {\nu }{2}}}{2^{\frac {\nu p}{2}}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left|\mathbf {X} \right|^{-{\frac {\nu +p+1}{2}}}{\rm {e}}^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {\Psi } }\mathbf {X} ^{-1})}

où $\mathbf {X}$ et ${\mathbf {\Psi } }$ sont des matrices définies positives $p\times p$ et $\Gamma _{p}$ est la fonction gamma multidimensionnelle.

Théorèmes

Loi de l'inverse d'une matrice de loi de Wishart

Si ${\mathbf {A} }\sim W({\mathbf {\Sigma } },\nu )$ et ${\mathbf {\Sigma } }$ est une matrice $p\times p$ , alors $\mathbf {X} ={\mathbf {A} }^{-1}$ est de loi de Wishart inverse : $\mathbf {X} \sim W^{-1}({\mathbf {\Sigma } }^{-1},\nu )$ ^[2].

Lois marginales et conditionnelles

On suppose que ${\mathbf {A} }\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )$ suit une loi de Wishart inverse. En séparant convenablement en deux matrices ${\mathbf {A} }$ et ${\mathbf {\Psi } }$ :

{\mathbf {A} }={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi } _{11}&\mathbf {\Psi } _{12}\\\mathbf {\Psi } _{21}&\mathbf {\Psi } _{22}\end{bmatrix}}

où ${\mathbf {A} _{ij}}$ et ${\mathbf {\Psi } _{ij}}$ sont des matrices $p_{i}\times p_{j}$ , alors on obtient

${\mathbf {A} _{11}}$ est indépendant de ${\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}$ et de ${\mathbf {A} }_{22\cdot 1}$ , où ${\mathbf {A} _{22\cdot 1}}={\mathbf {A} }_{22}-{\mathbf {A} }_{21}{\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}$ est le complément de Schur de ${\mathbf {A} _{11}}$ dans ${\mathbf {A} }$ ;
${\mathbf {A} _{11}}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } _{11}},\nu -p_{2})$ ;
${\mathbf {A} }_{11}^{-1}{\mathbf {A} }_{12}|{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim MN_{p_{1}\times p_{2}}({\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{12},{\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\otimes {\mathbf {\Psi } }_{11}^{-1})$ , où $MN_{p\times q}(\cdot ,\cdot )$ est la loi normale multidimensionnelle;
${\mathbf {A} }_{22\cdot 1}\sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } }_{22\cdot 1},\nu )$

Moments

Cette section est basée sur l'article [Press, 1982]^[3], après avoir reparamétré le degré de liberté pour être consistent avec la définition de la densité donnée ci-dessus.

La moyenne est^[2] :

E(\mathbf {X} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}.

La variance de chaque élément de $\mathbf {X}$ est :

\operatorname {Var} (x_{ij})={\frac {(\nu -p+1)\psi _{ij}^{2}+(\nu -p-1)\psi _{ii}\psi _{jj}}{(\nu -p)(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}

La variance de la diagonale utilise la même formule que ci-dessus avec $i=j$ , ce qui se simplifie en :

\operatorname {Var} (x_{ii})={\frac {2\psi _{ii}^{2}}{(\nu -p-1)^{2}(\nu -p-3)}}.

Liens avec d'autres lois

Une version unidimensionnelle de la loi de Wishart inverse est la loi inverse-gamma. Avec $p=1$ , c'est-à-dire unidimensionnel, $\alpha =\nu /2$ , $\beta =\mathbf {\Psi } /2$ et $x=\mathbf {X}$ , la densité de probabilité de la loi de Wishart inverse devient

p(x|\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma _{1}(\alpha )}}.

c'est-à-dire, la loi inverse-gamma où $\Gamma _{1}(\cdot )$ est la fonction gamma classique.

La loi de Wishart inverse est un cas particulier de la loi gamma inverse multidimensionnelle.