Condition de chaîne dénombrable

Dans un ensemble ordonné E, on appelle antichaîne forte tout ensemble d'éléments de E deux à deux incompatibles, ou encore, toute partie de E dont aucune paire n'est minorée. C'est donc une partie A telle que ${\displaystyle \forall x,y\in A\quad \forall z\in E\quad \left[(z\leq x{\text{ et }}z\leq y)\Rightarrow x=y\right].}$

On dit que E vérifie la condition de chaîne dénombrable lorsque toute antichaîne forte de E est au plus dénombrable.

En toute logique, on devrait dire « condition d'antichaîne dénombrable » pour éviter une certaine confusion avec de véritables notions^{[réf. nécessaire]} de chaînes comme noethérien ou artinien mais, comme souvent, on préfère garder^{[réf. nécessaire]} l'appellation historique.

On peut généraliser. Pour un cardinal κ donné, on dit que E vérifie la κ-condition de chaîne lorsque toute antichaîne forte de E est de cardinal strictement inférieur à κ. Ainsi, la condition de chaîne dénombrable correspond à la ℵ₁-condition de chaîne.