Courbe parallèle

S'il existe une représentation paramétrique régulière ${\displaystyle {\vec {x}}=(x(t),y(t))}$ de la courbe donnée disponible, la deuxième définition d'une courbe parallèle (voir ci-dessus) conduit à la représentation paramétrique suivante de la courbe parallèle avec la distance ${\displaystyle |d|}$ :

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$ avec le vecteur normal unitaire ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ .

En coordonnées cartésiennes :

${\displaystyle x_{d}(t)=x(t)+{\frac {d\;y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}}$

${\displaystyle y_{d}(t)=y(t)-{\frac {d\;x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\ .}$

Le paramètre distance ${\displaystyle d}$ peut être négatif. Dans ce cas, on obtient une courbe parallèle sur le côté opposé de la courbe (voir schéma sur les courbes parallèles d'un cercle). On peut facilement vérifier qu'une courbe parallèle à une droite est une droite parallèle au sens commun, et que la courbe parallèle à un cercle est un cercle concentrique.

• Pour une même valeur paramètre, les vecteurs tangents sont colinéaires : ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$
• En notant ${\displaystyle k(t)}$ la courbure de la courbe donnée, la courbure de la courbe parallèle ${\displaystyle k_{d}(t)}$ est donnée par ${\displaystyle k_{d}(t)={\frac {k(t)}{1+dk(t)}}.}$
• et son rayon de courbure par ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+d,\quad }$ avec ${\displaystyle R(t)}$ le rayon de courbure de la courbe donnée
• Lorsqu'ils existent, les cercles osculateurs de courbes parallèles aux points correspondants sont concentriques^[11].
• Comme pour les droites parallèles, une droite normale à une courbe est aussi normale à ses parallèles.
• Lorsque des courbes parallèles sont construites, elles auront des points de rebroussement lorsque la distance de la courbe correspond au rayon de courbure. Ce sont les points où la courbe touche la développée.
• Si la courbe génératrice est une frontière d'un ensemble plan et que sa courbe parallèle est sans auto-intersections, alors cette dernière est la frontière de la somme de Minkowski de l'ensemble plan et du disque de rayon donné^[12].

Si la courbe donnée est polynomiale (ce qui signifie que ${\displaystyle x(t)}$ et ${\displaystyle y(t)}$ sont des polynômes), alors les courbes parallèles ne sont généralement pas polynomiales. Dans le domaine de la CAO, c'est un inconvénient, car les systèmes de CAO utilisent des polynômes ou des courbes algébriques. Afin d'obtenir au moins des courbes algébriques, la racine carrée de la représentation de la courbe parallèle doit pouvoir être résolue. Ces courbes sont appelées courbes hodographes pythagoriciennes et ont été étudiées par RT Farouki^[13].

• Les courbes parallèles à un cercle de centre (x₀ , y₀) et de rayon r sont les courbes d'équations paramétriques

${\displaystyle x_{d}(t)=x(t)+d\cos(t)=x_{0}+(r+d)\cos(t),\ y_{d}(t)=y(t)+d\sin(t)=y_{0}+(r+d)\sin(t)}$

Ce sont donc bien des cercles concentriques, de même centre que le cercle de base.

• Les courbes parallèles à une ellipse de centre (x₀ , y₀) et de demi-axes a et b sont les courbes d'équations paramétriques

${\displaystyle x_{d}(t)=\left(a+{\frac {bd}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}(t)+b^{2}\cos ^{2}(t)}}}\right)\cos(t),\ y_{d}(t)=\left(b+{\frac {ad}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}(t)+b^{2}\cos ^{2}(t)}}}\right)\sin(t)}$

Ce sont des courbes algébriques octiques, dont certaines rappellent la courbe de Talbot.

Généralement la représentation analytique d'une courbe parallèle à une courbe implicite n'est pas possible. Ce n'est que pour les cas simples de lignes et de cercles que les courbes parallèles peuvent être décrites facilement. Par exemple :

Droite${\displaystyle \;f(x,y)=x+y-1=0\;}$ → fonction distance : ${\displaystyle \;h(x,y)={\frac {x+y-1}{\sqrt {2}}}=d\;}$ (forme normale de Hesse)

Cercle ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\;}$ → fonction distance : ${\displaystyle \;h(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-1=d\;.}$

En général, en supposant certaines conditions, on peut prouver l'existence d'une fonction de distance orientée ${\displaystyle h(x,y)}$. En pratique, il faut le traiter numériquement^[14]. En considérant des courbes parallèles, ce qui suit est vrai :

• La courbe parallèle pour la distance d est la ligne de niveau ${\displaystyle h(x,y)=d}$ de la fonction de distance orientée correspondante ${\displaystyle h}$.

• ${\displaystyle |\operatorname {grad} h({\vec {x}})|=1\;,}$
• ${\displaystyle h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=h({\vec {x}})+d\;,}$
• ${\displaystyle \operatorname {grad} h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=\operatorname {grad} h({\vec {x}})\;.}$

Exemple

Le diagramme montre des courbes parallèles de la courbe implicite d'équation ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0\;.}$

Remarque^[12],[15]: Les courbes ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=d\;}$ ne sont pas des courbes parallèles, car ${\displaystyle \;|\operatorname {grad} f(x,y)|=1\;}$ n'est pas vrai dans la zone d'intérêt.

• Les développantes d'une courbe donnée sont un ensemble de courbes parallèles. Par exemple : les développantes d'un cercle sont des spirales parallèles (voir schéma).

Et^[16] :

• Une parabole a comme décalages (des deux côtés) des courbes algébriques de degré 6.
• Une hyperbole ou une ellipse a comme décalages (des deux côtés) une courbe algébrique de degré 8.
• Une courbe de Bézier de degré n a pour décalages (à deux côtés) des courbes algébriques de degré 4n − 2 . En particulier, une courbe de Bézier cubique a comme décalages (à deux côtés) des courbes algébriques de degré 10.

Lors de la détermination du chemin de coupe d'une pièce avec un angle aigu pour l'usinage, il faut définir la courbe parallèle (décalée) à une courbe donnée qui a une normale discontinue au niveau de l'angle. Même si la courbe donnée n'est pas lisse à l'angle aigu, sa courbe parallèle peut être lisse avec une normale continue, ou elle peut avoir des pointes lorsque la distance de la courbe correspond au rayon de courbure à l'angle aigu.

Comme décrit ci-dessus, la représentation paramétrique d'une courbe parallèle, ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$, à une courbure donnée, ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$, avec distance ${\displaystyle |d|}$ est:

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$ avec le vecteur normal unitaire ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ .

Dans un virage serré (${\displaystyle t=t_{c}}$), la normale à ${\displaystyle {\vec {x}}(t_{c})}$ donné par ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$ est discontinue, c'est-à-dire la limite à gauche de la normale ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$ est différente de la limite à droite ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$ . Mathématiquement,

${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})=\lim _{t\to t_{c}^{-}}{\vec {n}}(t)\neq {\vec {n}}(t_{c}^{+})=\lim _{t\to t_{c}^{+}}{\vec {n}}(t)}$ .

Cependant, on peut définir un éventail normal ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$ qui fournit une interpolation entre ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$ et ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$, et utilise ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$ au lieu de ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$ à l'angle aigu :

${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )={\frac {(1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})}{\lVert (1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})\rVert }},\quad }$ où ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ .

La définition résultante de la courbe parallèle ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$ fournit le comportement souhaité :

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\begin{cases}{\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t),&{\text{ si }}t<t_{c}{\text{ ou }}t>t_{c}\\{\vec {x}}(t_{c})+d{\vec {n}}_{f}(\alpha ),&{\text{ si }}t=t_{c}{\text{ avec }}0<\alpha <1\end{cases}}}$

En général, la courbe parallèle d'une courbe de Bézier n'est pas une autre courbe de Bézier, un résultat prouvé par Tiller et Hanson en 1984^[17]. Ainsi, en pratique, des techniques d'approximation sont utilisées. Tout niveau de précision souhaité est possible en subdivisant à plusieurs reprises la courbe, bien que de meilleures techniques nécessitent moins de subdivisions pour atteindre le même niveau de précision. Une étude réalisée en 1997 par Elber, Lee et Kim^[18] est largement citée, bien que de meilleures techniques aient été proposées plus récemment. Une technique moderne basée sur l'ajustement de courbe, avec des références et des comparaisons avec d'autres algorithmes, ainsi qu'un code source JavaScript open source, a été publiée dans un article de blog^[19] en septembre 2022.

Un autre algorithme efficace pour la compensation est l'approche par niveau décrite par Kimmel et Bruckstein (1993)^[20].

Les surfaces décalées sont importantes dans l'usinage à commande numérique, où elles décrivent la forme de la coupe effectuée par une fraise à bout sphérique d'une fraise à trois axes^[10]. S'il existe une représentation paramétrique régulière ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$ de la surface donnée disponible, la deuxième définition d'une courbe parallèle (voir ci-dessus) se généralise à la représentation paramétrique suivante de la surface parallèle avec la distance ${\displaystyle |d|}$ :

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+d{\vec {n}}(u,v)}$ avec le vecteur normal ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)={{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}} \over {|{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}}|}}}$ .

Le paramètre de distance ${\displaystyle d}$ peut aussi être négatif. Dans ce cas, on obtient une surface parallèle sur le côté opposé de la surface (voir schéma similaire sur les courbes parallèles d'un cercle). On vérifie facilement qu'une surface parallèle à un plan est un plan parallèle au sens commun et la surface parallèle d'une sphère est une sphère concentrique.

• Pour un même paramètre, les vecteurs tangents sont colinéaires^[21]: ${\displaystyle {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial u}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial u},\quad {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial v}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial v},\quad }$
• Les vecteurs normaux pour un même paramètre ont même direction : ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)=\pm {\vec {n}}(u,v),\quad }$
• ${\displaystyle S_{d}=(1+dS)^{-1}S,\quad }$ où ${\displaystyle S_{d}}$ et ${\displaystyle S}$ sont les opérateurs de forme pour ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ et ${\displaystyle {\vec {x}}}$, respectivement.

Les courbures principales sont les valeurs propres de l'opérateur de forme, les directions de courbure principales sont ses vecteurs propres, la courbure gaussienne est son déterminant et la courbure moyenne est la moitié de sa trace.

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+dI,\quad }$ où ${\displaystyle S_{d}^{-1}}$ et ${\displaystyle S^{-1}}$ sont les inverses des opérateurs de forme pour ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ et ${\displaystyle {\vec {x}}}$, respectivement.

Les rayons de courbure principaux sont les valeurs propres de l'inverse de l'opérateur de forme, les directions de courbure principales sont ses vecteurs propres, l'inverse de la courbure gaussienne est son déterminant et le rayon de courbure moyen est la moitié de sa trace.

On remarque ainsi une similarité avec les propriétés géométriques des courbes parallèles.