Courbe quartique

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En géométrie, une courbe quartique est une courbe algébrique de degré quatre.

Elle peut être définie par une équation de degré quatre :

${\displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0.}$

Cette équation a quinze constantes. Cependant, elle peut être multipliée par une constante non nulle sans changer la courbe. De ce fait, l'espace des courbes quartiques peut être identifié avec l'espace projectif réel ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{14}}$. Il en résulte qu'il y a exactement une seule courbe quartique qui passe par un ensemble de quatorze points distincts en position générale, puisqu'une quartique a 14 degrés de liberté.

Une courbe quartique peut avoir un maximum de :

• quatre composantes connexes,
• vingt-huit bitangentes (en),
• trois points doubles ordinaires, à moins qu'elle ne se décompose.

Un exemple de courbe quartique (gauche) est la fenêtre de Viviani.

On distingue plusieurs familles de quartiques en fonction du genre.

• Si le genre = 0, alors ce sont les quartiques rationnelles
• Si le genre = 1, alors ce sont les quartiques elliptiques
• Si le genre = 2, alors ce sont les quartiques du diable
• Si le genre = 3, alors ce sont les quartiques de genre trois