Ovale de Descartes

René Descartes fait allusion à ces courbes dans sa Dioptrique mais les étudie plus profondément dans sa Géométrie. Il ne les présente pas directement par leur équation bifocale mais à l'aide d'une construction. Sa motivation est d'ordre pratique : il s'agit de rechercher des courbes de stigmatisme parfait. C'est-à-dire des courbes séparant deux milieux d'indices différents telles que tous les rayons issus d'un point particulier du premier milieu, convergent par réfraction sur un point particulier du second milieu.

Les ovales intérieurs ont cette particularité: si l'ovale d'équation bF₁M + aF₂M = cF₁F₂ où 0 < a < c < b sépare un milieu intérieur d'indice b d'un milieu extérieur d'indice a alors les rayons issus de F₂ et rencontrant l'ovale vont se réfracter en F₁.

Descartes mobilise, dans cette étude, sa nouvelle connaissance de la loi de réfraction ainsi que ses techniques de tracé de tangentes à des courbes^[2]. Il conclut par la présentation de lunettes permettant à l'aide de la combinaison de deux ovales d'assurer un stigmatisme absolu^[3].

Il propose également un moyen mécanique de construction de telles ovales pour des coefficients b et a entiers naturels lorsque c = (a+b)/2, avec une méthode s'apparentant à la méthode du jardinier^[4].

La courbe est également étudiée par Isaac Newton, Adolphe Quételet qui étudie les deux branches de la courbe et en donne l'équation polaire^[5], par Michel Chasles. Arthur Cayley, Hieronymus Georg Zeuthen et Hammond^[6] en développent des méthodes mécaniques de construction^[7].

On considère la courbe d'équation bipolaire bF₁M + aF₂M = cF₁F₂. On peut, sans perte de généralité, supposer a + b > 0. Si c < min(a,b), la courbe est vide^[8].

Lorsque 0 < a = b < c, l'ensemble des points M est une ellipse, le troisième foyer est envoyé à l'infini. On considère en général^[8] qu'il s'agit d'un ovale dégénéré.

Lorsque a + b = 0, l'ensemble des points M est une demi-hyperbole. Le troisième foyer est envoyé à l'infini. Il s'agit aussi d'un cas dégénéré.

Lorsque a = ±c, le troisième foyer est confondu avec F₁ et l'ovale complet est un limaçon de Pascal.

L'équation |bMF₁ ± aMF₂| = |cF₁F₂| peut encore s'écrire sous la forme quartique suivante : ${\displaystyle \left(b^{2}MF_{1}^{2}-a^{2}MF_{2}^{2}+c^{2}F_{1}F_{2}^{2}\right)^{2}=4b^{2}c^{2}F_{1}F_{2}^{2}\times MF_{1}^{2}}$

Dans le cas d'un ovale non dégénéré, en prenant pour origine O le barycentre de F₁ et F₂ affectés des coefficient b² et –a² et pour ${\displaystyle {\vec {i}}}$ le vecteur tel que F₁ a pour abscisse α = a². Alors F₂ a pour abscisse β = b². En posant γ = c², l'équation de l'ovale devient^[9] : ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-\sigma _{2})^{2}+8\sigma _{3}x-4\sigma _{1}\sigma _{3}=0}$ où σ₁, σ₂ et σ₃ sont les fonctions symétriques des réels α, β et γ : ${\displaystyle \sigma _{1}=\alpha +\beta +\gamma ,\quad \sigma _{2}=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ,\quad \sigma _{3}=\alpha \beta \gamma }$

Le caractère symétrique des rôles joués par les réels α, β et γ permet de dire que la même équation cartésienne sera obtenue pour l'ovale de foyers F₁ et F₃(γ, 0) et d'équation |cMF₁ ± aMF₃| = |bF₁F₃| ainsi que pour l'ovale de foyers F₂ et F₃ et d'équation |cMF₂ ± bMF₃| = |aF₁F₃|.

On peut aussi décider de prendre pour origine, le milieu du segment [F₁F₂]^[10] ou un des foyers^[11] pour obtenir des équations alternatives.

Dans le repère de centre F₁ et dont l'axe principal est orienté vers F₂, si l'on note d = F₁F₂, l'ovale complet d'équation |bMF₁ ± aMF₂| = |cF₁F₂| a pour équation polaire^[12] :

${\displaystyle (b^{2}-a^{2})\rho ^{2}-2\rho d(a^{2}\cos \theta +bc)+(c^{2}-a^{2})d^{2}=0}$

Puisque le produit des deux racines de cette équation est indépendant de θ, l'ovale complet est invariant par inversion^[13] de centre F₁ et de rapport ${\displaystyle {\frac {(c^{2}-a^{2})d^{2}}{(b^{2}-a^{2})}}}$.