Deltoïde (courbe)

En écrivant la position du point d'un cercle de rayon ${\displaystyle a}$ roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon ${\displaystyle 3a}$, on obtient l'équation paramétrique suivante :

${\displaystyle x=2a\cos(t)+a\cos(2t)}$

${\displaystyle y=2a\sin(t)-a\sin(2t)}$.

L'équation cartésienne est de la forme :

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18(x^{2}+y^{2})=8x^{3}-24y^{2}x+27}$,

ce qui montre que cette courbe est algébrique de degré 4. Elle possède trois points singuliers (les trois points de rebroussement), et elle est de genre zéro.

• La longueur du périmètre d'un deltoïde de paramètre a est 16a^[1]. L'aire du domaine délimité par le deltoïde est ${\displaystyle 2\pi a^{2}}$.
• Pour toute droite tangente à une deltoïde de paramètre a, le segment de droite formé par l'intersection de la tangente avec la courbe est de longueur constante égale à 4a, et son milieu est sur son cercle inscrit.
• L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde (on l’appelle deltoïde de Steiner, ce théorème étant dû à Jakob Steiner).
• La développante de la deltoïde a pour équation cartésienne

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,}$ Elle présente un point double à l'origine, ce que l'on peut vérifier en opérant une rotation imaginaire y → iy, qui aboutit à l'équation :

${\displaystyle x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0}$ courbe qui présente un point double à l'origine dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

• La caustique d'un deltoïde, la source lumineuse étant à l'infini, est une astroïde, quelle que soit la direction de la source^[2].

• Jacques Hadamard, « On the three-cusped hypocycloid », The Mathematical Gazette, vol. 29,‎ 1945, p. 66-67
• (en) E.H. Lockwood, A Book of Curves, Cambridge, England, Cambridge University Press, 1967, chap. 8 (« The Deltoid »), p. 72-79.