Drapeau (mathématiques)
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En mathématiques, un drapeau d'un espace vectoriel E de dimension finie est une suite finie strictement croissante de sous-espaces vectoriels de E, commençant par l'espace nul {0} et se terminant par l'espace total E :
Si n est la dimension de E, les dimensions successives des sous-espaces Ei forment une suite finie strictement croissante d'entiers naturels :
Si di = i pour tout i (donc entre autres si k = n), alors le drapeau est dit total ou complet.
À toute base (e1, …, en) de l'espace E de dimension n est associé un drapeau total dont les termes sont constitués des espaces successivement engendrés :
Exemple : si E est l'espace ℝm[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à m, sa base canonique est (1, X, X2, …, Xm) et sa dimension est n = m + 1. L'espace E0 = {0} et les espaces Ei + 1 = ℝi[X] successifs pour i allant de 0 à m constituent un drapeau total de E.
Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs ei tels que ei appartient à Ei mais pas à Ei – 1.
Drapeau stable par un endomorphisme
Si u est un endomorphisme de E, on dit que le drapeau est stable par u si chaque Ei est stable par u :
Par exemple, si l'on reprend pour E l'espace ℝm[X] et le drapeau formé des espaces ℝi[X] successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X + 1)), de différence finie (P donne P(X + 1) - P), etc.
