Empilement de carrés dans un carré

On note C(n) la taille minimale du côté d'un carré pouvant contenir n carrés unités sans chevauchement.

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Plusieurs formules précises ont été établies pour des classes spécifiques de valeurs de n :

• Pour a ∈ ℕ et a > 1 :

${\displaystyle C(a^{2})=C(a^{2}-1)=C(a^{2}-2)=a}$

• Pour a ∈ ℕ et a > 1 :

${\displaystyle C(a^{2}+1)\in [{\sqrt {a^{2}+1}},a+{\sqrt {0,5}}]}$

• Pour a ∈ ℕ et b = a - 1 ou a - 2 :

${\displaystyle C(a^{2}+4\sum _{k=1}^{b})\in [{\sqrt {a^{2}+4\sum _{k=1}^{b}}},{\sqrt {\frac {((b+1){\sqrt {2}}+a)^{2}}{2}}}]}$ Remarque : La borne ${\displaystyle {\sqrt {\frac {((b+1){\sqrt {2}}+a)^{2}}{2}}}}$ n'est pas toujours inférieure à ${\displaystyle \lceil {\sqrt {a^{2}+4\sum _{k=1}^{b}}}\rceil }$ pour b < 19.

D'autres résultats qui ne permettent pas d'établir des empilements optimaux exacts sont connus. Par exemple :

• S'il est possible d'emballer n² − 2 carrés unitaires dans un carré du côté a, alors a ≥ n^[4] ;
• L'approche naïve dans laquelle tous les carrés sont parallèles aux axes de coordonnées et sont placés en contact bord à bord laisse un espace perdu de moins de a + 1 dans un carré du côté a^[1] ;
• L'espace gaspillé d'une solution optimale est asymptotiquement o(a^7/11)^[5] ;
• Toutes les solutions doivent gaspiller de l'espace au moins Ω(a^1/2) pour certaines valeurs de a^[6] ;
• 11 carrés unitaires ne peuvent pas être emballés dans un carré de côté inférieur à ${\displaystyle 2+2{\sqrt {4/5}}\approx 3,789}$. En revanche, l'empilement le plus serré connu de 11 carrés se trouve à l'intérieur d'un carré de longueur approximative de 3,8772^[2].

• [vidéo] Mickaël Launay, « Comment ranger des chocolats dans une boîte (mathématiquement) ? », sur YouTube.

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