Empilement de sphères dans une sphère

L'empilement de sphères dans une sphère est un problème d'empilement tridimensionnel dont l'objectif est d'empiler des sphères identiques de nombre n dans une sphère unité. C’est l’équivalent tridimensionnel du problème bidimensionnel de l'empilement de cercles dans un cercle.

Nombre de sphères unités n	Rayon maximal des sphères intérieures[1]		Optimalité	Figure
	Forme exacte	Approximation
1	${\displaystyle 1}$	1,0000	Trivial
2	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	0,5000	Trivial
3	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}-3}$	0,4641...	Trivial
4	${\displaystyle {\sqrt {6}}-2}$	0,4494...	Prouvé optimal
5	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	0,4142...	Prouvé optimal
6	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	0,4142...	Prouvé optimal
7	${\displaystyle {\frac {1}{{\frac {{\sqrt {3}}+2\cos \left({\frac {\pi }{18}}\right)}{\sqrt {2+2{\sqrt {3}}\cos \left({\frac {\pi }{18}}\right)}}}+1}}}$	0,3859...	Prouvé optimal
8	${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}+1}}}$	0,3780...	Prouvé optimal
9	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}$	0,3660...	Prouvé optimal
10		0,3530...	Prouvé optimal
11	${\displaystyle {\dfrac {{\sqrt {5}}-3}{2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	0,3445...	Prouvé optimal
12	${\displaystyle {\dfrac {{\sqrt {5}}-3}{2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	0,3445...	Prouvé optimal