Empilement de cercles dans un cercle

L'empilement de cercles dans un cercle est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques en nombre $n$ dans le cercle le plus petit possible.

Le tableau suivant présente une solution minimale (dans le cas où plusieurs solutions minimales existent, une seule variante apparaît dans le tableau)^[1] :

Nombre de cercles unités de nombre $n$	Rayon $r$ du cercle extérieur	Densité $n/r^{2}$	Optimalité
1	1	1,0000	Trivial
2	2	0,5000	Trivial
3	$1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)}}=1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 2{,}155$ A176053	$9(7-4{\sqrt {3}})\approx 0,6462$	Trivial
4	$1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414$	$4(3-2{\sqrt {2}})\approx 0,6863$	Trivial
5	$1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)}}=1+{\sqrt {2\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)}}\approx 2{,}701$	$\approx 0,6852$	Trivial Aussi prouvé optimal par Graham (1968)^[2]
6	3	$2/3\approx 0,6667$	Trivial Aussi prouvé optimal par Graham (1968)^[2]
7	3	$7/9\approx 0,7778$	Trivial
8	$1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right)}}\approx 3,305$	$\approx 0,7325$	Prouvé optimal par Pirl (1969)^[3]
9	$1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{8}}\right)}}=1+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\approx 3,613$	$\approx 0,6894$	Prouvé optimal par Pirl (1969)^[3]
10	3,813...	0,6878...	Prouvé optimal par Pirl (1969)^[3]
11	$1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right)}}\approx 3,924$	$\approx 0,7145$	Prouvé optimal par Melissen (1994)^[4]
12	$1+{\frac {2}{x_{0}{\sqrt {3}}}}\approx 4,029$ $x_{0}$ plus petite racine positive de $9X^{5}-15X^{4}+7X^{3}-3X+1$	$\approx 0,7390$	Prouvé optimal par Fodor (2000)^[5]
13	$1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)}}=2+{\sqrt {5}}\approx 4,236$	$13(9-4{\sqrt {5}})\approx 0,7245$	Prouvé optimal par Fodor (2003)^[6]
14	4,328...	0,7474...	Conjecturé optimal^[7]
15	$1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}\approx 4,521$	$\approx 0,7338$	Conjecturé optimal^[7]
16	4,615...	0,7512...	Conjecturé optimal^[7]
17	4,792...	0,7403...	Conjecturé optimal^[7]
18	$1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{12}}\right)}}=1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}\approx 4,864$	$\approx 0,7609$	Conjecturé optimal^[7]
19	$1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{12}}\right)}}=1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}\approx 4,864$	$\approx 0,8032$	Prouvé optimal par Fodor (1999)^[8]
20	5,122...	0,7623...	Conjecturé optimal^[7]

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[4]

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v · m Empilement
Empilement de cercles	Dans un cercle Dans un triangle équilatéral Dans un triangle isocèle rectangle Dans un carré Cercles d'Apollonius Théorème d'empilement de cercles Problème de Tammes (sur une sphère)
Empilement de sphères	Sphères d'Apollonius Dans une sphère Code parfait et code MDS
Empilement de carrés	Dans un carré Dans un cercle
Autres empilements	Problème de bin packing Empilement de tétraèdres Set
Puzzles	Bedlam Conway Diabolique Serpent Slothouber–Graatsma Soma

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